Kann Wendepunkt auch zwischen einem Extrema und dem streben nach 0 (Asymptote) sein?
Z.B hat man einen HP und dann geht der Graph gegen 0, ist dann dazwischen ein Wendepunkt?
Weil dort ändert sich ja eigentlich schon die Krümmung von rechts zu links
4 Antworten
Zwischen einem Hochpunkt und der x-Achse können 1 Mio. Wendepunkte und mehr liegen.
Eine Funktion kann nach einem Extremum beliebig viele Wendepunkte haben, aber sie muss nicht unbedingt einen haben. Wenn sie zweimal stetig differenzierbar ist, gibt es zwar eine Stelle, wo die die zweite Ableitung null ist. (Zwischenwertsatz, Mittelwertsatz, Satz von Rolle) Die zweite Ableitung könnte aber auch auf einem längeren Abschnitt als an einer einzelnen Stelle null sein.
Hallo,
dazwischen muß sogar einer liegen, denn vom Hochpunkt aus geht es zunächst in einer Rechtskurve Richtung Keller. Um nicht völlig abzustürzen, muß man irgendwann das Ruder herumreißen und in eine Linkskurve übergehen. Wenn die immer flacher wird, endet sie als Asymptote.
Herzliche Grüße,
Willy
vom Hochpunkt aus geht es zunächst in einer Rechtskurve Richtung Keller
nicht unbedingt. Gegenbeispiel: y=1/(|x|+1)
Ja. Beweis: Habe f bei x = h einen Hochpunkt. Dann gilt f(h)' = 0. Weiterhin gilt, da
Damit haben wir zwei Nullstellen in der Ableitung, eine konkret bei h, die andere in der Unendlichkeit. Dass die Unendlichkeit nicht per x-Wert definiertbar ist, ist insoweit unerheblich, da es nur um den Abschnitt dazwischen geht und dieser für den Wendepunkt definiert ist, also nicht in der Unendlichkeit liegt (Vermutung).
Wenn eine Funktion zwei Nullstellen hat, dann muss zwischen diesen beiden Nullstellen eine Stelle mit einem Ableitungswert = 0 liegt, Satz von Rolle, hier also eine Nullstelle in der zweiten Ableitung, resultiertend aus zwei Nullstellen davor und danach --> Beweis für Wendepunkt.
Den Beweis, dass der Wendepunkt nicht in der Unendlichkeit liegt, bekomme ich gerade nicht auf die Kette. Im Prinzip könnte er vielleicht so lauten, dass der Wendepunkt vor dem assymptotischen Verhalten liegen muss und damit definiert.
Extremes Beispiel.
Wenn man f(x)'' gleich 0 setzt, hat man unendlich viele Nullstellen rechts von 0, also hat f(x) unendlich viele Wendepunkte und f(x) geht assymptotisch gegen 0.
martrud meint etwas anderes: z. B. hat y=tan(x) viele Nullstellen, aber nirgends eine waagrechte Tangente.
Deine Behauptung gilt also nur für Funktionen mit speziellen Eigenschaften, und die solltest Du auch erwähnen.
ok Danke, aber y = tan(x) hat doch gerade keine Assymptote nach 0 bzw. die Assymptote nach 0 war die Eigenschaft, welche ich hier verwenden wollte.
Und wenn es nicht differenzierbar ist, dann werden solche Aussagen wie vom Fragesteller recht schwer zu beantworten.
Aber klar, so wie ich das geschrieben habe, ist es unsauber bzw. kein belastbarer Beweis.
"Wenn eine Funktion zwei Nullstellen hat, dann muss zwischen diesen beiden Nullstellen eine Stelle mit einem Ableitungswert = 0 liegen"
Bei solchen Aussagen müsste man immer die Voraussetzungen (betr. Definitionsbereich, Stetigkeit, Differenzierbarkeit) deklarieren !