kann mir jemand den genauen Lösungsansatz sagen und die Aufgabe berechnen?
gesucht ist die kleinste natürliche zahl n mit der folgenden Eigenschaften n hat genau 12 teiler und das 7 fache der Zahl hat doppelt so viele Teiler wie n und ggt(n,300)=2hoch2 mal 5.
Muss man bei der Aufgabe einfach ausprobieren oder muss man systematisch vorgehen?
1 Antwort
Ansatz: n = Produkt p_i^a_i mit einem Index i, paarweise verschiedenen Primzahlen p_i und positiven Exponenten a_i.
Die Anzahl Teiler d(n) = Produkt (a_i + 1).
Wenn 7n doppelt so viele Teiler hat, dann kommt die 7 in der Primfaktorzerlegung von n nicht vor, denn
7n = 7 Produkt p_i^a_i, und d(7n) = 2 * Produkt (a_i + 1).
Aus 300 = 2^2 * 3 * 5^2 und ggt(n,300) = 2^2 * 5 schliessen wir, dass n den Teiler 2^a_2 mit a_2 >= 2, und den Teiler 5^a_5 mit a_5 = 1 enthält, aber nicht die 3, also
n = 2^a_2 * 5 * Produkt p_i^a_i mit p_i >= 11 (a_2 >= 2)
und d(n) = (a_2 + 1) * 2 * Produkt (a_i + 1).
Als kleinstmögliches Exemplar dieser Darstellung mit d(n) = 12 haben wir
n = 2^2 * 5 * 11.