Kann man von der normalform zur Scheitelpunktform nur mit der quadratischen Ergänzung?

Der einzige Fall bei dem Du ohne auskommst ist, wenn kein einfaches x vorkommt, also z. B. f(x)=2x²-3. Dann liegt der Scheitelpunkt auf der y-Achse, d. h. die Parabel ist nur in y-Richtung verschoben, und d. h. der x-Wert des Scheitelpunkts ist 0. Somit ist die Scheitelpunktform einfach f(x)=2(x-0)²-3.

Ansonsten wirst Du um die Scheitelpunktform nicht herumkommen, es sei denn Du erkennst aus dem Term, dass er sich in ein binomisches Quadrat verwandeln lässt, z. B. f(x)=x²-4x+4=(x-2)² mit S(2|0), aber das sind dann Sonderfälle. "Mathematisch rechnerisch" müsstest Du auch hier quadr. ergänzen.

nein, nicht unbedingt;

du kannst die Nullstellen von f mit der pq-Formel berechnen und die Mitte zwischen ihnen ermitteln; dann hast du den x-Wert des Scheitelpunktes. Dann den in f einsetzen und den y-Wert ermitteln; alles in die Scheitelform einsetzen.

f(x) = a(x-xs)² + ys

-> Nein