Umformungen der quadratischen Funktion?
Hey, ich habe n echt schwierige Aufgabe. Und zwar muss ich zum Thema quadratischen Funktionen von der Polynomform (allgemeine Form) auf die Scheitelpunktform kommen. Also es solange Umformen bis es gleich ist. Anschließend soll ich die Scheitelpunktform in die Nullstellenform umformen. Also bei beiden Umformungen Äquivalenzumformungen anwenden bis es gleich ist. Habe noch nochmal ein Foto von allem angehangen. Bitte nur sinnvolle Antworten und an denjenigen der es hinbekommt schon mal ein riesen Danke. PS.: Selbstverständlich ohne Zahlen einsetzen beweisen. MfG Leon
3 Antworten
y = a1x² + b1x + c1
ist umzuformen in
y = a2(x - b2) + c2
y = a3(x - b3)(x - c3)
Zu a2, b2 und c2:
y = a1(x² + b1/a1x + c1/a1)
Die erste binomische Formel heißt:
(x + u)² = x² + 2ux + u²
Also wählen wir
2u = b1/a1
u = b1/(2a1)
y = a1x² + b1/a1x + (b1/(2a1))² - (b1/(2a1))² + c1/a1)
y = a1(x + b1/(2a1))² - a1(b1/(2a1))² + c1
a2 = a1
b2 = -b1/(2a1)
c2 = c1 - b1²/(4a1)
Probe durch Ausmultiplizieren:
y = a1(x + b1/(2a1))² + c1 - b1²/(4a1)
y = a1(x² + 2b1/(2a1)x + b1²/(4a1²) + c1 - b1²/(4a1)
y = a1x² + b1x - b1²/(4a1) + c1 - b1²/(4a1)
y = a1x² + b1x + c1
stimmt.
Zu a3, b3 und c3:
y = a3(x - b3)(x - c3)
Durch reine Äquivalenzumformungen ist das nicht mit vertretbarem Aufwand hinzubekommen, daher lösen wir das durch Koeffizientenvergleich.
Ausmultiplizieren:
y = a3x² - a3b3x - a3c3x + a3b3c3
Koeffizientenvergleich:
a1 = a3
b1 = -a3b3 -a3c3, also -b1/a1 = b3 + c3
c1 = a3b3c3, also c1/a1 = b3c3
Für b3 und c3 haben wir ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
c3 = -b1/a1 - b3
c1/a1 = b3*(-b1/a1 - b3)
b3² + b3*b1/a1 + c1/a1 = 0
Wir suchen b3.
(b3 + v)² = b3² + 2vb3 + v²
wir wählen
2v = b1/a1, also v = b1/(2a1)
b3² + 2*b3*b1/(2a1) + b1²/(2a1)² - b1²/(2a1)² + c1/a1 = 0
(b3 + b1/(2a1))² - b1²/(2a1)² + c1/a1 = 0
(b3 + b1/(2a1))² = b1²/(2a1)² - c1/a1
|b3 + b1/(2a1)| = 1/a1 * Wurzel(b1²/4 - c1)
b3 + b1/(2a1) = +/- (1/a1 * Wurzel(b1²/4 - c1))
b3 = 1/a1 * (-b1/2 +/- Wurzel(b1²/4 - c1))
und aus c3 = -b1/a1 - b3 folgt
c3 = 1/a1 * (-b1/2 -/+ Wurzel(b1²/4 - c1))
Ich hoffe, dass ich mich nicht irgendwo verrechnet habe.
Euer Mathelehrer ist ein Sadist. (Zumindest den Faktor a hätte man Euch ersparen können.)
Vielen vielen Dank, ich schaue es mir gleich mal zuhause an!!!!!!
Das verwirrende an Deinem Aufschrieb ist, dass in allen drei Formeln die Parameter a,b und c verwendet werden. Damit entsteht der Eindruck, es seien immer dieselben Werte (sind es aber nicht).
Hier ein hilfreiche Seite zum Theme Scheitelpunktform:
Hey, ja sorry ein Mathelehrer hatte es so aufgeschrieben, dass es nicht dasselbe ist wusste ich aber so schon. Und danke für die Seite!!!
Durch die quadratische Ergänzung kannst du die Polynomform in die Scheitelpunkt/Nullpunktform bringen.
Hallo, ich habe mal drüber geschaut, es übersichtlicher geschrieben und sowas. Hab es dann meinem Lehrer gegeben aber er kam zu dem Schluss das durch das Quadrat die Wurzel ungünstig ist. Ich würde dir die Datei gern mal senden, ich glaube aber das du mich dazu als Freund annehmen musst....LG