Kann man die Aufgabe so beweisen?
Hallo zusammen,
kann ich folgendes Problem so beweisen?
3 Antworten
Du hast damit gerade "bewiesen" dass n^3-n nur für n=1 und n=3 durch 24 teilbar ist, da deine Gleichung nur für m=0 und m=1 lösbar ist.
Das ist aber offensichtlich falsch, da du zeigen solltest, dass n^3-n für alle ungerade Zahlen durch 24 teilbar ist.
Außerdem hat die Gleichung unendlich viele Lösungen, unter anderem auch Komplexe.
Du hättest zeigen müssen, dass für ALLE natürlichen m, b dann eine Ganze Zahl ist. Das wird aber zu aufwendig sein.
Unter deiner anderen Frage wurden mehrere richtige Ansätze aufgelistet, die korrekt sind, wieso nutzt du nicht die?
(Versuche am besten die Ansätze, die in deiner vorherigen Frage genannt wurden, selbst, bevor du den vollständigen Beweis durch andere Vorkauen lässt)
Okay, sehr gut.
Also um Teilbarkeit zu zeigen, sind Induktion oder die Begründung dass die relevanten Faktoren (also in diesem Fall 2, 3 und 4) in den Termen immer enthalten sind, meist die üblichen Wege. Manchmal kann man sich auch klug anstellen, und irgend einen Satz, wie zum Beispiel den Satz von Euler bzw den kleinen Fermat nutzen, aber das ist hier nicht möglich glaube ich.
Und keine sorge, der letzte Absatz war keine Kritik an dich, ich war nur etwas enttäuscht von den anderen Antworten, da sie direkt einen Vollständigen Beweis geliefert haben, was halt meiner Meinung nach überhaupt nicht hilfreich ist, wenn man das üben will.
Ein Ansatz wäre akzeptabel, aber gleich der ganze Beweis?
(Vor allem da deine Frage lautete: "Ist mein Beweis korrekt?" Und nicht "Ignoriert bitte meinen Ansatz und schreibt stattdessen einen vollständigen Beweis, ohne auf meinen Ansatz einzugehen")
(2x+1)^3-(2x+1) = 4 (2 x + 1) x (x + 1) und 24 = 2*2*2*3
4 (2 x + 1) x (x + 1) / (2*2*2*3) = ..................... ist teilbar durch 2*2
(2 x + 1) x (x + 1) / (2*3)
2 teilt stets entweder x oder (x + 1), somit ist nur noch zu untersuchen, ob (2 x + 1) x (x + 1) durch 3 teilbar ist:
3 teilt stets entweder x oder x + 1 oder x + 2. Wenn 3 den Term x + 2 teilt, dann teilt 3 auch 2 * (x + 2) = 2x + 4 und auch 2x + 4 - 3 = 2 x + 1. Somit teilt 3 den Term (2 x + 1) x (x + 1).
Bei allen 3 Links gibt es eine Darstellung, in der 12 als Faktor auftritt und 12 ist durch 3 teilbar
Nutze, dass sowohl x = 1, x = -1, x = 0 eine Nullstelle und a = 1 der Leitkoeffizient des Polynoms x^3 - x ist, daher zerfällt das Polynom über lR vollständig in Linearfaktoren, es ist daher:
(x + 1)x(x-1) = x^3 - x.
Für eine natürliche Zahl n in lN ist immer entweder n - 1 oder n oder n + 1 durch 3 teilbar und falls n ungerade ist, teilt 2 sowohl n + 1, als auch n - 1 und 4 teilt entweder n + 1 oder n - 1. Daher teilt dann 2•4•3 = 24 die Zahl
n^3 - n = (n + 1)n(n-1),
falls n ungerade ist.
Hey danke, ja du hast mir bereits ein paar tipps gegeben. Die Sache ist halt die, dass ich versuchen möchte die Aufgabe selbst zu lösen oder verstehen was ich in meinem Beweis falsch mache. Wenn ich gar nicht mehr weiter komme oder die Aufgabe doch gelöst habe, dann werde ich natürlich die Ansätze von dir und anderen genauer unter die Lupe nehmen um zu sehen wie man die Aufgabe doch besser lösen könnte. Deshalb bin ich für tipps immer dankbar:)