Kann jemand diese Zahlenfolge und Term Matheaufgabe lösen?
Ich habe eine Zahöenfolge und die Lösung.
die Zahlenfolge ist: 4, 7, 15, 28, 46
Die Lösung ist vorgegeben. Die Lösung ist :(1/2)* 5n^2 -9n+12
Jetzt meine Frage, wie komme ich auf siese Lösung. Hat jemand eine idee?
so weit komme ich:
Lösung: (1/2) * (5n² - 9n + 12)
ja aber wie komme ich drauf?
kannst du mir fragen uf diese Lösung zu kommen. was sind die rechenschritte?
5n^2 -9n+12 ???? nein , noch mal 1/ 2
Ja @halbrecht. das haben wir nun verstanden. Nochmal die Frage war, wie man darauf kommt
2 Antworten
Hallo,
wie Halbrecht bereits schrieb, lautet die Formel, sofern das erste Glied der Folge als a1 bezeichnet wird und nicht als a0:
an=(1/2)*(5n²-9n+12).
Wie kommt man darauf?
Indem man die Folge 4 7 15 28 46 69... auf Muster untersucht.
Das hast Du ja gemacht.
Das erste Muster ist, daß die weiteren Glieder nach der 4 so entstehen:
4+3
4+3+8
4+3+8+13
4+3+8+13+18
Die letzte Zahl, die in den jeweiligen Summen dazukommt, ist stets um 5 höher als die Zahl, die bei der vorherigen Summe dazukam.
Die Zahlen, die neben der 3, die immer auftaucht, addiert werden, kann man auch als 5+3; 10+3; 15+3 usw. schreiben.
Die letzte Summe in meiner Liste, also 4+3+8+13+18=46 ließe sich auch als
4+(3+0*5)+(3+1*5)+(3+2*5)+(3+3*5) aufschreiben.
Setzen wir mal zunächst die 7 als a1 und nicht die 4 und tun so, als finge die Folge bei 7 an.
Dann wäre an=4+3n+(0+1+2+...+n-1)*5, wobei die Summe 0+1+2+...+n-1) auch als
(n/2)*(n-1) zusammengefaßt werden kann.
Eine Folge, die als erstes Glied a1 die 7 hat und dann mit 15; 28; 46; 69... weitergeht, hätte also die Summenformel an=4+3n+(n/2)*(n-1)*5=4+3n+(5/2)n²-(5/2)n
=(5/2)n²+(1/2)n+4.
Das Dumme ist nur, daß diese Folge nicht bei der 4 beginnt, sondern bei der 7.
Wenn Du die beiden Folgen vergleichst:
4 7 15 28 46 und 7 15 28 46 69, dann siehst Du, daß Du von der zweiten auf die erste kommst, indem Du von jedem Folgenglied eine bestimmte Zahl abziehst, nämlich 3 von der 7, 8 von der 15, 13 von der 28, 18 von der 46 sowie 23 von der 69.
Die Zahlen, die Du abziehst, also 3; 8; 13; 18; 23...
lassen sie als 3+0*5; 3+1*5; 3+2*5 usw. also allgemein als 3+(n-1)*5 darstellen.
3+(n-1)*5=5n-2.
Ziehst Du (5n-2) von der bisher gefundenen Summenformel (5/2)n²+(1/2)n+4 ab, kommst Du auf (5/2)n²-(9/2)n+6=(1/2)*(5n²-9n+12).
Eine andere Methode wäre es, zu versuchen, ob es sich um eine Polynofunktion zweiten Grades handeln könnte, indem Du in das Schema f(n)=an²+bn+c die ersten drei Zahlenpaaare (1|4); (2|7) und (3|15) einsetzt.
Entweder benutzt Du dann das Newtonsche Interpolationsverfahren oder Du stellst ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen und drei Unbekannten auf, und löst es nach a, b und c auf.
Das wäre sozusagen die Brechstange.
Herzliche Grüße,
Willy
Hi,
Den Ansatz hast du ja schon, die Differenz zwischen zwei Termen steigt immer um 5.
Die Differenzen können wir mit rn bezeichnen. Dafür kannst du einfach eine Formel aufstellen mit 5n-2, das sollte nicht das Problem sein.
Als rekursive Formel für a(n+1) ergibt sich a(n)+r(n) mit a(1)=4. Soweit sollte alles klar sein.
Auf a(n) können wir jedoch wieder die rekursive Vorschrift anwenden. Dann auf a(n-1) usw.
Wenn das oft genug gemacht wird, bleibt irgendwann a(1) stehen und alle r(n) Terme von 1 bis n. Wir können also eine Summe aufstellen die alle r(k) Terme von 1 bis n aufsummiert.
Jetzt können wir die Definition für r einsetzen. Dann können wir die Summe aufspalten und den Faktor 5 rausbringen. Die linke Summe ist jetzt die Summe aller natürlicher Zahlen bis n, die wir mit n*(n+1)/2 kennen. In der rechten Summe wird n mal 2 aufsummiert, es ergibt sich also 2n.
Nach Vereinfachungen müssen wir noch n—> n-1 substituieren, denn wir haben ja jetzt die Vorschrift für a(n+1) aber wollen a(n) haben. Dann wieder vereinfachen und das richtige Ergebnis kommt raus.
Der Ansatz ist eigentlich das mit der Änderung um 5, die rekursive Vorschrift und das wiederholte Ersetzen der a(x) Terme.
Ich hoffe das hilft dir weiter! Falls du was nicht verstehst kannst du nen Kommentar schreiben! :)
Gerne :] Das mit der 5 aus der binomischen Formel, der -1 aus der Mitte und der 8 am Ende was zusammen 12 ergibt hast du jetzt ja schon selbst gemerkt. :)
Hallo danke für deine Tolle Antwort.Ich habe deine Rechenwege verstanden. Ich hätte nurnoch eine kleine Frage. Ich verstehe in der 3. letzten Zeile nicht ganz^, wie du auf + 8 und später auf + 12 kommst. Wenn du mir das nochmal erklären könntest wäre Ichs ehr dankbar.
Aber sonst schonmal wirklich ein grosses Danke für die tollen tipps.