ist unendlich eine natürliche Zahl?

  Mach dir mal klar, was ===> Kardinalzahlen ( KZ ) von Mengen sind. Oder noch besser: Ordinalzahlen ( OZ )  Vom Standpunkt der OZ ist w  die kleinste transfinite ===> Grenzzahl; und es gilt

    w  =  |N      (  1  )

   |N ist eine OZ . Der Begriff OZ ist folgender Maßen definiert: Eine Menge heißt OZ , wenn sie alle ihre Elemente gleichzeitig als Teilmengen, als Vorgänger enthält.

Du wirst nicht vorfinden, dass es heißt   x = ∞ ,
sondern immer nur    x → ∞      (x geht gegen unendlich)
oder etwas in dieser Art.

∞ ist keine Zahl, sondern ein für uns nicht unmittelbar zugänglicher Bereich, in dessen Richtung sich Zahlen aber bewegen können, - und zwar alle Zahlen, nicht nur die natürlichen.

Das Unendliche ist ein weites Feld und nicht mit einem einzigen Symbol zu „erschlagen“.

Das einzelne Symbol ∞ steht nicht für eine Zahl, sondern für das potential Unendliche. Etwas geht gegen ∞, es kann nicht ∞ sein. Wenn das Gleichheitszeichen dennoch verwendet wird, etwa im Zusammenhang mit der Dimension eines Vektorraumes

(„dim(V) = ∞“),

so ist das nicht als exakte Gleichung zu verstehen.

… bezeichnen die Mächtigkeit (Kardinalität) einer Menge und entsprechen somit am ehesten natürlichen Zahlen. Sie können auch unendlich sein, nämlich bei Mengen, die unendlich viele Elemente enthalten, wie ℕ. Allerdings gibt es nicht die eine unendliche Kardinalzahl, sondern gleichfalls unendlich viele, denn die Potenzmenge einer beliebigen Menge X ist stets mächtiger als X selbst. So ist

|ℕ| =: ℵ₀,

aber

|ℝ|=: ℵ>ℵ₀.

Ab den 1960er Jahren axiomatisierten Mathematiker wie Abraham Robinson ein Gebiet namens Nichtstandard-AnaIysis.

Hier braucht man Begriffe wie Filter und Ultrafilter, um in mathematisch sauberer Weise über Folgen sowohl unendliche als auch infinitesimale Zahlen darstellbar zu machen, wodurch es eben nicht nur „Unendlich“, sondern „viele Unendlichs“ gibt. Anders als bei Kardinalzahlen ist hier übrigens z.B. α+1⪈α, auch wenn α unendlich groß ist.

All diese Zahlen, infinitesimale, endliche und unendliche, bilden den Körper *ℝ der Hyperreellen Zahlen. Jede Zahl - selbst hier mit Ausnahme der 0 - hat einen Kehrwert.

Es gibt unendlich viele Natürliche Zahlen. Unendlich ist die Mächtigkeit der Menge der Natürlichen Zahlen, aber kein Element.

Nein, weder eine natürliche noch eine unnatürliche, sondern überhaupt keine Zahl.