Ist die Summe aller natürlichen Zahlen -1/12?
10 Antworten
CheMyPha hat bereits eine schöne (und richtige) Antwort geliefert. Wenn man den Konvergenzberiff anwendet, wie wir ihn alle im Kindergarten gelernt haben, dann divergiert der Ausdruck natürlich. Es kann trotzdem sinnvoll / notwendig sein, einer solchen Reihe einen endlichen Wert zuzuweisen - etwa, wenn sie in der Physik auftritt, was nicht nur in der Stringtheorie der Fall ist - und dieser ist -1/12. (Dafür muss man übrigens auch keine Zeta-Funktion bemühen. )
In diesem Sinne ist es richtig zu sagen, dass die Summe der natürlichen Zahlen = -1/12 ist. Siehe für Details etwa die Antwort von Lubos Motl in https://math.stackexchange.com/questions/749921/why-is-the-sum-over-all-positive-integers-equal-to-1-12?noredirect=1
Woran man mal wieder sieht, dass die Stringtheorie der letzte Müll ist!
Die Summe über die natürlichen Zahlen ist unendlich. Punkt.
Einfach weil der kleine Gauß ((n²+n)/2) sowas von divergent ist!
Eine faszinierende Frage.
Was du dort beschreibst, ist eine sogenannte Reihe. Das ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Nun gibt es klassischerweise zwei Arten von Reihen. Konvergierende Reihen haben einen endlichen Wert. Zum Beispiel:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2
Ebenfalls gibt es jedoch sogenannte divergierende Reihen, die keinen endlichen Wert besitzen, sie werden unendlich groß. Zum Beispiel:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 wird immer größer und geht gegen unendlich.
Die Summe aller natürlichen Zahlen konvergiert ebenfalls nicht und ist daher nicht gleich einem endlichen Wert. Das ist also eine Sichtweise auf die Frage.
Nun wird es aber interessant. Mathematiker haben sich die Frage gestellt (als erstes Leonhard Euler im 18. Jahrhundert), ob man nicht doch einen mathematischen Kontext erschaffen kann, in dem solche Reihen einen endlichen Wert haben. Und tatsächlich kann man der Summe der natürlichen Zahlen den Wert von -1/12 zuweisen. Zu diesem Ergebnis kann man sogar auf verschiedenste Weisen kommen, einige sind sehr simpel und sind leicht nachvollziehbar und andere sind sehr kompliziert. Alle Varianten, einer solchen Reihe einen endlichen Wert "zuzuordnen" gelangen zu diesem Ergebnis von -1/12. Das ist ja allein schon sehr faszinierend. Noch besser wird es, wenn man sich klar macht, dass dieses Ergebnis tatsächlich in verschiedensten Bereichen der Mathematik und der Physik (QFT, Stringtheorie) von Nutzen ist!
Nun zur Frage, welche Betrachtungsweise denn nun richtig ist. Das ist eine schwierige und vor allem philosophische Frage. Ähnlich verhält es sich mit komplexen Zahlen. Die Existenz dieser wirkt ebenfalls sehr komisch auf jeden, der zum ersten Mal mit ihnen in Berührung kommt. Im Kontext der reellen Zahlen ist die Wurzel aus -1 nicht definiert, ganz einfach, jedoch wurde von Mathematikern ein Kontext erschaffen, in dem sie sehr wohl definiert ist. Dieser Schritt war sehr wichtig, um viele Probleme leichter lösen zu können und das ist ja letztendlich die Aufgabe von Mathematik. Existieren nun komplexe Zahlen? Ist die Summe aller natürlich Zahlen nun -1/12? Existieren Zahlen überhaupt oder ist die Mathematik etwas was der Mensch erfunden hat, um die Natur und andere Gesetzmäßigkeiten zu beschreiben? Das sind alles Fragen der Philosophie, durchaus sehr spannende. Das Konzept der Unendlichkeit ist sowieso ein sehr Schwieriges zum "Begreifen". In Unendlichkeiten kann ein menschliches Gehirn nicht denken.
Also ich verstehe nicht genau, was mit dieser Aussagen-Logik gemeint ist, aber zu dem "zeigen":
Verschiedenste Mathematiker haben sich der Aufgabe angenommen, dieser Reihe einen endlichen Wert zuzuordnen. Dabei wendeten sie ganz unterschiedliche mathematische Mittel an, die man sich ja nicht einfach frei erfinden darf, sondern die gewissen logischen Regeln folgen müssen. Bei jedem einzelnen Weg ist immer die Frage danach, ob diese mathematischen Regeln in diesem Kontext überhaupt streng gelten, jedoch führen all diese Herleitungen zu dem Ergebnis -1/12. Wenn du eine Möglichkeit findest dieser Reihe den Wert 0 oder irgendeinen anderen logisch sinnvoll zuzuordnen, bin ich mir sehr sicher, dass die mathematische Community sehr interessiert sein wird. Jede Manipulation an der Reihe muss jedoch irgendeinem mathematischen Konzept entsprechen oder Teil eines neuen sein (gibt es natürlich auch strenge Regeln dazu).
Witzigerweise gibt es in der modernen Physik (z.B. der Quantenfeldtheorie) sehr oft Unendlichkeiten die auftreten, die unphysikalisch sind und bei denen Physiker in ähnlicher Weise einen sinnvollen endlichen Wert für solche Ausdrücke finden. In wie weit das formal gerechtfertigt ist, ist ja eine spannende Frage (wie ich oben beschrieben habe), jedoch lassen sich daraus in der QFT sehr gut experimentell überprüfbare Voraussagen treffen.
"ebensogut wie man "zeigen" kann, dass diese Reihe die Summe -1/12 hat,
könnte man auch zeigen, dass die Summe den Wert 0 oder den Wert 7371
oder den Wert -39.76 hat."
Nein, kann man nicht, das ist ja der Witz dabei.
Das ist reiner Bullshit. Dass die Summe der natürlichen Zahlen -1/12 beträge, ist ein Irrtum, der wohl (wahrscheinlich) von Physikern in die Welt gesetzt wurde, die dachten, man könnte mit der riemannschen Zetafunktion rumhantieren, wo sie nicht definiert ist.
Allgemein beweisen sämtliche "Beweise" im Internet nur, dass der Verfasser eben jenes keine Ahnung von Folgen, Reihen und Grenzwerten hat.
Wir kommen hier in einen Bereich der Mathematik über den man definitiv diskutieren kann. Keine Frage. Reiner Bullshit halte ich jedoch für eine sehr ignorante Einstellung. Ich denke man wird sehr wenige Mathematiker finden, die die Aussage reiner Bullshit unterstützen.
Vielleicht nochmal als weitere Literatur den Blog von dem vielleicht begabtesten Mathematiker unserer Zeit (Terry Tao):
Und auch sehr gut die Response von Tony Padilla:
http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html
Ich möchte mich nicht über dieses Thema streiten, aber es ist schwierig abzustreiten, dass der Großteil der Mathematiker diesem Ergebnis eine Berechtigung zuspricht. Aber klar, wir kommen hier in einen Bereich, in dem es nicht mehr schwarz oder weiß ist.
Wie ChePhyMa schon angemerkt hat: du hast Unrecht, Astroknoedel und dein Beitrag lässt vielmehr darauf schließen, dass du von (fortgeschrittener) Mathematik (noch) nicht so viel Ahnung hast.
Die "Beweise", die dazu zu finden sind, haben alle (zum Teil etwas versteckt) denselben gravierenden Fehler: Sie wenden auf eine unendliche Reihe Rechenregeln an, bei denen man Konvergenz voraussetzen müsste, obwohl im konkreten Fall eben diese Konvergenz nicht vorliegt.
Damit sind derartige "Beweise" wenigstens für die übliche Algebra einfach sinnlos bzw. falsch.
Man muss allerdings anmerken, dass in ganz bestimmten Zusammenhängen der höheren Mathematik der angesprochenen Gleichung tatsächlich ein Sinn zugeordnet werden kann. Das hat aber dann eben mit der normalen "Schul-" Mathematik nichts zu tun !
Eben.
In dem 'Beweis' wird vorausgesetzt, daß lim n gegen unendlich für sn=1-1+1-1... 1/2 ist, was aber nur in ganz speziellen Bereichen der Mathematik unter ganz bestimmten Voraussetzungen gilt und keineswegs als Grundlage für einen allgemeingültigen Beweis herhalten kann.
Willy
Der Beweis in dem Video ist falsch, da man nur bei absolut konvergenten Reihen die Summationsreihenfolge verändern darf. Die angegeben Reihen (insb. 1-1+1-+ ...) sind überhaupt nicht konvergent - erst recht nicht absolut konvergent. Das Ergebnis ist aber trotzdem richtig, weil die Riemannsche Zetafunktion bei -1 den Wert -1/12 hat. Allgemein hat die Riemannsche Zetafunktion an den Stellen -2m+1 den Wert -1/(2m) * B(2m) , wobei B(2m) die Bernoullischen Zahlen sind. So einfach wie im Video ist der Beweis aber nicht, da muss man schon etwas mehr Grips investieren, denn wie gesagt es wurden elementare Fehler im Umgang mit Reihen gemacht, woraus man schließen kann, dass der Urheber kein Mathematiker ist.
"Das Ergebnis ist aber trotzdem richtig, weil die Riemannsche Zetafunktion bei -1 den Wert -1/12 hat."
Sorry, aber auch dies behauptet kein Mathematiker einfach so ... Die Darstellung der Zetafunktion an der Stelle -1 ist ganz schlicht und einfach auch keine konvergente Reihe.
Es gibt soweit ich weiß kein Ergebnis dafür oder ist bzw. Unendlich.
Das was du meinst ist soweit ich weiß die summe aus +1-1+1-1 usw. Da gibt es von den SimpleMaths bei Youtube ein Video, da es zu der zweitn Folge wie ich sie geschrieben habe im Prinzip drei Ergebnisse gibt.
"..... tatsächlich kann man der Summe der natürlichen Zahlen den Wert von -1/12 zuweisen. Zu diesem Ergebnis kann man sogar auf verschiedenste Weisen kommen, einige sind sehr simpel und sind leicht nachvollziehbar und andere sind sehr kompliziert. Alle Varianten, einer solchen Reihe einen endlichen Wert "zuzuordnen" gelangen zu diesem Ergebnis von -1/12."
Moment mal: ebensogut wie man "zeigen" kann, dass diese Reihe die Summe -1/12 hat, könnte man auch zeigen, dass die Summe den Wert 0 oder den Wert 7371 oder den Wert -39.76 hat.
In der Aussagen-Logik gilt: aus einem einzigen unmöglichen Ergebnis kann man mit logischer Strenge jedes beliebige Ergebnis folgern.