ist der Gauß -Algorithmus schwer zu beherrschen?
Um Gleichungssysteme mit vielen Unbekannten zu lösen?
4 Antworten
Der Gauss-Algorithmus ist ein leicht zu erlernendes und programmierendes Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme; leider geht der Rechenaufwand für n Variablen bei vollbesetzter (nxn)-Matrix mit O(n^3), was auch ein Problem bei den Rundungsfehlern darstellt. Somit eignet sich das Verfahren nur bedingt zur Lösung grosser Gleichungssysteme, wie sie beispielsweise bei der Diskretisierung von partiellen Diffentialgleichungssytemen à la Navier-Stokes auftreten. Da die Lösungen hier häufig sehr sensibel auf Anfangsbedingungen reagieren (hohe Reynolds-Zahlen, Turbulenzen), müssen in der Regel sehr feine Diskretisierungen gewählt werden, wodurch die Gleichungssysteme extrem gross werden. In diesem Falle empfiehlt es sich, iterative Verfahren zur numerischen Lösung zu verwenden. Die Wahl des Gauss-Verfahrens hängt somit immer von der konkreten Problemstellung ab, ich würde mir aber ab einer Variablenzahl von n=1000 etwas anderes überlegen…
Der Gauß Algorithmus ist eigentlich leicht erlernbar. Aber bei vielen Unbekannten ist es Fleißarbeit. So ähnlich wie Stricken oder Häkeln. Vergleichbar auch mit Fließbandarbeit. Man macht stundenlang das Gleiche. Das sollte man lieber den Computern überlassen. Die sind wie geschaffen für so etwas. Haben aber auch ihre Probleme wenn die Gleichungssysteme sehr groß werden und die Koeffizienten aus physikalischen Betrachtungen kommen. Dann kommt es zum "Problem der kleinen Differenzen". Differenzbildungen von reellen Zahlen, die dicht beieinander liegen können immer nur so genau sein, wie die Mantisse lang ist. So kann es beim Gaußalgorithmus mit seinen immer wiederkehrenden Differenzbildungen zu Genauigkeitsverlusten kommen, die sogar die Lösbarkeit eines Gleichungssystem in Frage stellen. - Dafür gibt es dann andere Verfahren, die einfach besser für numerische Anwendungen sind.
Leider kann man hier nur eine Antwort als "richtig" benennen.
Die große Schwäche des Gaußschen Algorithmus ist wirklich, dass er dazu neigt, numerisch "wegzugammeln". Was Du als "Problem der kleinen Differenzen" bezeichnest, kenne ich als "Stellenauslöschung". (Z.B. das Jacobi-Verfahren kompensiert das.)
Selbstredend hat er Tücken. Im Großen und Ganzen ist er jedoch ein dankbares Verfahren im Umgang mit Gleichungssystemen.
Wenn die Hauptdiagnale der Koeffizientenmatrix schwach besetzt ist (also z.B. viele Nullen enthält), kann der Gaußsche Algoritmus ziemlich ätzend sein, weil man dauernd durch 0 dividieren muss ;-)
Aber bei der Berechnung elektrischer Schaltungen mit der Knotenpotentialanalyse (mit stark besetzter Hauptdiagonalen) ist es ein numerisch sehr gutmütiges Verfahren.
Nein, ziemlich einfach sogar.