Ionisationsenergie, warum ist sie endlich?
Angenommen wir haben ein unendlich großen, leeren Raum mit einem einzigen Atom. Wenn wir dieses ionisieren wollen, müssen wir laut Definition das Elektron so weit rauskicken, dass es als entfernt gilt. Doch selbst wenn es eine enorm hohe kinetische Energie hat, die Anziehungskraft zum Proton wirkt bis ins Unendliche (auch wenn sie mit 1/r^2 abnimmt). Also warum kann man zum Beispiel in die Rydberg Formel für n = ♾️ einsetzen und trotzdem einen endlichen Energiebetrag bekommen? Müsste die Energie nicht ebensfalls unendlich betragen, um das Elektron ins Unendliche zu entfernen?
Ich meine, wenn ich die Energie E = F * r nehme, wobei r gleich unendlich ist und F mit 1/r^2 abnimmt, dann müsste ich bis ins Unendliche integrieren und selbst wenn sich F weiterhin asymptotisch der x-Achse nähert, bleibt es nur eine Annäherung an Null und bei x (also r, dem Abstand zwischen Elektron und Kernen) unendlich betrachtet, müsste auch E unendlich sein? Es ist für mich sehr schwer nachzuvollziehen, dass etwas mit einer endlichen Energiemenge einer immerwährenden Anziehungskraft (auch wenn sie mit der Entfernung weiter abnimmt) entkommen kann.
Ich glaube einfach das ich noch nicht mit meinem intuitiven Überlegen mit uneigentlichen integralen klarkomme, dass eine fläche endlich sein kann obwohl die Strecke unendlich ist. Klar ich kann mir vorstellen das wenn ich mein Wasserglas ½ fülle, dann ¼, ⅛, etc.. ich niemals über den Rand hinauskomme obwohl ich unendlich oft nachfülle aber trotzdem ist es irgendwie noch komisch.
4 Antworten
bis ins Unendliche zu integrieren ist normal. Das Integral konvergiert auf einen endlichen Wert, nämlich die Potentialdifferenz zwischen der null im Unendlichen und der minus irgendwas am Startpunkt.
Du kommst nie ÜBER den Rand, auch wenn du unendlich oft nachfüllst (angenommen das sei möglich, irgendwann müsste man ja Bruchteile von Wassermolekülen nachfüllen).
Ja, dass ist nur noch ein wenig schwer zu begreifen weil man ja immer etwas dazugibt, nur jedesmal ein kleines bisschen weniger. Da könnte man auch die Vorstellung haben solange was dazukommt wird es mehr
Die Mathematik ist voller Wunder. Die Menge 1, 2, 3, 4, ... enthält ja auch doppelt so viele Zahlen wie 2, 4, 6, 8, ... Dabei enthalten beide unendlich viele Zahlen. Oder Hilberts Hotel. Unendlich viele Zimmer, alle sind belegt, und trotzdem ist ein Zimmer frei.
eigentlich ist nicht E = F*s, sondern dE = F(s)ds. E erhält man durch integrieren von dE von s0 bis unendlich, und F(s) ist proportional zu 1/s^2...
Hilberts Hotel
Danke, schon wieder was dazu gelernt. Das Hotel kannte ich noch nicht. Gleich mal buchen. ;-)
Müsste die Energie nicht ebensfalls unendlich betragen um das Elektron ins unendliche zu entfernen?
Ja, rechnerisch würde sie das. Aber zwei Dinge sprechen bereits rational dagegen: Erstens, das Abstandsgesetz mit dem Quadrat, d.h. der Beitrag geht schneller gegen Null als der Abstand gegen unendlich. Zweitens die Tatsache, daß es weder unendlich viel Energie noch einen unendlich weiten Abstand gibt.
Weil die Kraft schneller sinkt, als der Abstand steigt!
Man bildet das Integral über die Stammfunktion und kann den Wert berechnen!
Und weil wir hier von Unendlichkeiten sprechen geht's hier eher um das Konzept der Mächtigkeit? Sonst könnte ich ja jetzt einwenden - ok selbst wenn die Kraft schneller sinkt als der Abstand steigt, trotzdem sinkt die Kraft niemals auf 0 und die Geschwindigkeit nimmt immer weiter ab. Also muss es irgendwann einen Wendepunkt geben.
Die Oberfläche der Erde ist auch unbegrenzt, aber nicht unendlich groß.
Man sollte meinen, dass Du schon mal Integrale bestimmt hast, die gegen 0, eine Polstelle, oder ins Unendliche streben und trotzdem begrenzt sind!
Das Integral ins unendliche gibt halt einen endlichen Wert. Nichts außergewöhnliches...
Wenn man sich damit schon länger auseinandergesetzt hat bestimmt nicht aber wenn man erstmal so drüber nachdenkt das etwas nicht unendlich wird, obwohl man unendlich oft etwas dazugibt (auch wenn das jedesmal etwas kleiner wird) ist das erstmal komisch oder nicht?
Also einfach die Vorstellung das der Wert natürlich immer weiter zusammengequetscht wird aber warum sollte das dann niemals über einen bestimmten Wert hinausgehen?
Wenn du zu einem Stück immer die Häfte dazu gibst, kommt auch immer was dazu:
1+ 1/2 + 1/4 + 1/8+ 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 ....
Was kommt da am Ende raus? Genau 2.
Binär:
1,1111111111... = 2
:-)
Deine Überlegung, wonach etwas unendliches rauskommen muss, wenn man unendlich oft etwas addiert ist also falsch.
Und was ist
0,9999999999....? da kommt unedlich oft 9*10^-n dazu: trotzdem wird es nicht unendlich, sondern klarerweise 1.
Aber wenn man es es doch so sieht, dass die Potentialdifferenz im unendlichen, also s = unendlich dann muss E doch zwingend unendlich sein nach E = F * s, egal für wie klein F ist. Obwohl jetzt wo ich es damit vergleiche das wenn ich ein Wasserglas immer bis zur hälfte auffülle und das unendlich oft dann komme ich auch niemals über den Rand