Integralrechnung ohne Sibstitution?
Hallo,
ich möchte die Stammfunktion von f(t) = √(1+2t) dt bilden.
Ich rechne wie folgt:
f(t) = (1+2t)^(1/2)
F(t) = 1/(1/2 +1) * (1+2t)^(1/2 +1)
F(t) = 1/(3/2) * (1+2t)^(3/2)
F(t) = 2/3 * (1+2t)^(3/2)
Die Musterlösung sagt aber das F(t) = 1/3 * (1+2t)^(3/2) ist.
Im Internet löst der Integralrechner mit Substitution, was ich leider nicht verstehe.
Kann mir jemand sagen, ob man die Stammfubktion ohne Substitution lösen kann und wo mein Fehler ist?
Vielen Dank im Vorraus!
3 Antworten
Kann mir jemand sagen, ob man die Stammfubktion ohne Substitution lösen kann
De-facto "Nein". Auch eine Lösung, die so aussieht, als würde sie ohne Substitution gehen, weil man den Faktor 2, der durch ein "Nachdifferenzieren" (Kettenregel) der inneren Funktion (1+2t) entsteht, mit einem 1/2 kompensiert, ist mathematisch betrachtet eigentlich doch eine Lösung mit Substitution (solche "Pseudo-ohne-Substitution-Lösungen" gehen, nur wenn die innere Funktion eine lineare Funktion ist)
und wo mein Fehler ist
Leite Dein Ergebnis ab, und Du erkennst, dass Du die Kettenregel nicht "rückgängig" gemacht hast - oder wie ich oben schon angedeutet habe, den Faktor 2 mit einem Faktor 1/2 zu kompensieren nicht bedacht hast.
Lösung ohne Substitution nach dem Motto "Was nicht passt wird passend gemacht"
Erst mal den (äußeren) Exponenten um 1 vergrößern, dann zur Kontrolle ableiten:
((1+2t)^3/2)' = 3/2 * 2 *(1+2t)^1/2
Passt fast, nur die 3 stört. Kein Problem, noch Faktor 1/3 davor
F(t) =1/3 * (1+2t)^3/2 + c
Klappt allerdings nur, wenn die innere Ableitung eine Konstante ist.
Substitution u = 2t + 1
du = 2*dt --> dt = du * 1/2
Daraus folgt für das Integral
Stammfunktion mit der Potenzregel ermitteln:
u wieder einsetzen:
Vielen lieben Dank. Ich verstehe alles bis auf du = 2*dt woher kommt die 2?
Kannst du mir sagen wo ich den Faktor 2 finde und wie ich ihn kompensiere. Wie gesagt ich kann Substitution irgendwie nicht :(