Integral vs. Ableitung?
Wie ist genau der Zusammengang zwischen d/dx und das Integal?
2 Antworten
Im Prinzip sind es (fast) Umkehroperationen. Ich hasse diesen Begriff, aber didaktisch ist er halt einfach ein Traum: Aufleiten. Integrieren ist nichts anderes als umgekehrtes Ableiten, sich zu überlegen, welche Funktion man ableiten muss, um auf die betrachtete Funktion zu kommen.
Ein ganz einfaches Beispiel liefern Polynome. Zum Beispiel lässt sich zu
ganz einfach eine Funktion finden, die abgeleitet genau f ergibt. Sie muss offensichtlich vom Grad 3 sein, denn Polynome werden immer um einen Grad kleiner, wenn man sie ableitet (man zieht ja von jedem Exponenten eins ab). Nur noch den Vorfaktor anpassen, dann sehen wir
wobei wir für c alles einsetzen können, was wir wollen (und immer eine mögliche Stammfunktion erhalten), denn Konstanten fallen beim Ableiten weg.
Und d/dx ist auch einfach nur ein Ableitungsoperator,
ist also auch nur eine Schreibweise wie man auch den Strich nach dem Funktionsnamen als Symbol für die Ableitung eingeführt hat.
Kurz und knapp: Das (unbestimmte) Integral einer Funktion f beschreibt die Funktion, die abgeleitet genau f ergibt. Das bestimmte Integral (also ein Integral mit Grenzen) hat mehr eine geometrische Bedeutung in Sachen Fläche unter der Kurve, aber ist auch sehr eng mit der Stammfunktion verwandt.
Oder auch nur die kürzeste Antwort, die man geben kann: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Dieser Satz besagt genau, dass sich Ableiten und Integrieren wie Umkehroperationen verhalten.
LG
Integrieren ist im Prinzip umgekehrtes Differenzieren.