In welche Richtung zeigt der Normalenvektor?
Hallo,
bei der Abstandsberechnung Punkt Ebene mit Lotgeraden muss ich wissen ob der Normalenvektor zur Ebene hin oder von der Ebene weg zeigt. Woran erkenne ich das?
Vielen Dank!
4 Antworten
Für die Abstandsbestimmung ist das pottegal, Hauptsache, es ist wirklich die Normale, also senkrecht auf der Ebene.
Kleiner Hinweis:
das Wort Lot vermittelt dir, dass die Idee des Verfahrens eine Senkrechte hin zum Fußpunkt auf der Ebene ist. Aber letztlich ist es wirklich gleichgültig. Ein umgedrehter Vektor steht genauso senkrecht auf der Ebene.
Hallo,
Du vergißt, daß ein Vektor immer eine ganze Klasse von Pfeilen darstellt, die alle die gleiche Richtung und Länge haben, aber sonst beliebig in ihrem jeweiligen Vektorraum verschoben werden können, solange sich bei dieser Verschiebung die Richtung nicht ändert. Derselbe Vektor kann also von einer Ebene wegzeigen oder zu ihr hinzeigen - je nachdem auf welcher Seite der Ebene er positioniert ist. Nimm einen Stift in die Hand, halte ihn so, daß er senkrecht über einer Tischplatte positioniert ist und seine Spitze Richtung Zimmerdecke zeigt. Nun bewege den Stift unter die Tischplatte, ohne daß sich sein Winkel und seine Ausrichtung verändern. Derselbe Stift, der eben noch von der Tischplatte weggezeigt hat, zeigt nun zu ihr hin. Die Angaben eines Vektors legen nur die Länge und die Ausrichtung fest: Dein Stift hat die und die Länge, er zeigt zur Zimmerdecke und bildet mit der Ebene der Tischplatte einen rechten Winkel. Wo er sich genau im Raum befindet, wüßtest Du erst, wenn Du die Koordinaten seines Anfangs- und seines Endpunktes hättest.
Die Komponenten des Vektors sind die jeweiligen Differenzen aus den Komponenten beider Punkte.
Wenn Du meinetwegen die Punkte A (1|2|3) und B (4|5|6) hast, kannst Du zwar den Vektor aus B-A bilden, nämlich 3;3;3, aus diesen Angaben kannst Du nicht mehr die ursprünglichen Punkte herauslesen. Der Vektor 3;3;3 kann auch aus der Differenz der Punkte (2|0|-4) und (-1|-3|-7) entstanden sein.
Für die Abstandsbestimmungen brauchst Du die Länge des Normalenvektors; die ist von seiner Ausrichtung unabhängig. Der Stift aus meinem Beispiel verändert seine Länge auch nicht dadurch, daß Du ihn umdrehst.
Herzliche Grüße,
Willy
Der Normalenvektor einer Ebene steht stets senkrecht auf ihr (zeigt von ihr weg). Der Normalenvektor zweier Vektoren steht stets senkrecht auf beiden Vektoren (die beiden Vektoren können als in einer Ebene liegend angesehen werden und damit gilt dann wieder 1. Satz).
Wenn in der Ebenengleichung ax + by + cz = d das konstante Glied d positiv ist,
zeigt der Normalenvektor (a , b , c) vom Ursprung zur Ebene hin.
Dasselbe gilt dann natürlich auch für die Hessesche Normalenform
und den Einheitsnormalenvektor.