Ich brauche ein wenig Hilfe beim Tangenten- und Berührungsproblem?
Ich habe 2 Aufgaben gekriegt zum Thema Tangentenproblem und Berührugnsproblem und selbst nach dem Unterricht blicke ich nicht ganz durch. Kann mir jemand vieleicht erklären wie ich diese Aufgaben rechne. Hier sind sie:
1. Gegeben sei die Funktion f (x) = 0,5 . Im Punkit P(1/0,5) soll die Tangente an den Graphen von f gelegt werden. Wie lautet die Gleichung der Tangente ?
2.Unteruschen sie, ob f (x) = x2 + 2 und g (x) = 4 x - x2 sich berühren. Wie lautet die Berührungstangente dann?
Ich will es wirklich verstehen weil Mathe nie so mein Fach war deshalb jede Erklärung wäre mir eine Hilfe.
5 Antworten
Funktionen berühren sich, wenn sie am selben Punkt die gleiche Steigung haben.
f'(x) = 2x, g(x) = 4 - 2x
f'(x) = g'(x)
2x = 4 - 2x | +2x
4x = 4 | :4
x = 1
f(1) = 3 = g(1)
Also berühren sich die Funktionen bei x=1.
Tangentengleichung:
f'(1) = 2 -> y=2x + b
f(1) = 3
2 + b = 3 <=> b = 1
y = 2x + 1
- y = 0,5 ist eine Gerade, da kann man keine Tangente dran legen. Die Funktion selbst als Tangente zu nehmen wäre auch falsch. weil es ja keine "Berührung" gibt!
- Die Lösung (Schnittpunkte) ausrechnen! Wenn unter der Wurzel 0 steht, ist es ein Berührungspunkt! Die Tangente in diesen Punkt über die 1. Ableitung!
Meiner Meinung nach sind Schnitt- bzw. Berührungspunkt nur 1 Punkt und nicht unendlich viele! Da könnte man ja gleich sagen eine Tangente an die Tangente!
In keiner mir bekannten Definition der Begriffe "Schnittpunkt" und "Berührungspunkt" kommt die Forderung vor, dass es jeweils nur einen oder nur isolierte solche Punkte geben darf.
(nebenbei: ich bin Mathematiker und habe für Jahrzehnte auch Geometrie unterrichtet ...)
"vieles darin ist unlogisch"
das müsstest du mir aber ausführlich erläutern, vielleicht mal am vorliegenden und an zwei weiteren Beispielen !
Z.B lernen Schüler die Tangente als "Berührungsgerade" an einen Kreis kennen! Auch die Sehne beim Mittelwertsatz wird erst beim Limes zur Tangente! Die natürliche Zahl ist nur die Unterordnung, also ein Element der ganzen Zahlen, wird aber mit den anderen Zahlenarten auf gleiche Stufe gestellt. Ich könnte noch viele andere Ungereimtheiten benennen!
"Z.B lernen Schüler die Tangente als "Berührungsgerade" an einen Kreis kennen!"
Nun ja, wenn man zunächst den Begriff "Tangente" nur am Beispiel des Kreises kennen gelernt hat, trifft da natürlich zu, dass es jeweils nur einen einzigen Berührungspunkt geben kann. Der Tangentenbegriff in der Analysis ist aber (durchaus sinnvollerweise) nicht auf diesen Sonderfall beschränkt. Einen Widerspruch zur Logik sehe ich da keineswegs. Ich würde nur sagen, dass es eher ungeschickt ist, den Tangentenbegriff über die Anzahl der gemeinsamen Punkte von Kurve und Tangente zu definieren.
"Auch die Sehne beim Mittelwertsatz wird erst beim Limes zur Tangente!"
Da komme ich jetzt nicht ganz mit. Vielleicht meinst du das: Ersetzen wir einen Kreis k durch eine Gerade g und zwei (zunächst verschiedene) Punkte Ak,Bk auf k durch zwei Punkte Ag,Bg auf g, so entspricht der Sekante (nicht "Sehne") AkBk des Kreises k die "Sekante" AgBg , welche halt schon mit der Geraden g identisch ist. Stört dich nun, dass dies schon "vor der Limesbildung" der Fall ist ? In diesem Fall müsste ich dich enttäuschen, denn selbstverständlich ist z.B. auch der Limes der konstanten Zahlenfolge <5,5,5,5,5, .......> gleich 5 .
"Die natürliche Zahl ist nur die Unterordnung, also ein Element der ganzen Zahlen, wird aber mit den anderen Zahlenarten auf gleiche Stufe gestellt."
Was meinst du hier mit "gleicher Stufe" ? Historisch gesehen wurden die gebräuchlichen Zahlenmengen bestimmt in der Reihenfolge N , Z , Q , R , C "er-" oder "ge-funden". Jede dieser Zahlenmengen ist in der nächstfolgenden als echte Teilmenge enthalten. N bildet (mangels Subtraktion) keine Gruppe. Z , Q , R , C sind additive und (außer Z) sogar auch multiplikative Gruppen und Körper.
Unter diesen Mengen so etwas wie eine "Rangfolge" ("Stufenordnung") etablieren zu wollen, scheint mir aber nicht sinnvoll.
Ich hatte natürlich die Sehne mit Sekante verwechselt (sollte mir nicht vorkommen). Aber gerade solche Beschreibungen oder "Definitionen" verfluche ich in der mathematik, weil da die Schüler nicht mehr mitkommen und sich kein Bild machen können. Bei der historischen Entwicklung der zahlenarten ist natürlich eine andere Reihenfolge herausgekommen, als man sie logisch richtig inhaltlich zu unterteilen hätte. Lass es uns abhaken, ich bin sowieso dabei, bei der mathematikervereinigung bzw. Lehrerausbildenden Unis etwas zu bewirken
"Bei der historischen Entwicklung der Zahlenarten ist natürlich eine andere Reihenfolge herausgekommen, als man sie logisch richtig inhaltlich zu unterteilen hätte."
Was soll denn hier "logisch richtig" sein ?
Sollte man etwa mit den komplexen Zahlen (auf irgendeine komplizierte axiomatische Weise) beginnen und dann schrittweise daraus die reellen, die rationalen, die ganzen und die natürlichen Zahlen als Teilmengen mit (teilweise) interessanten Eigenschaften raus-destillieren ?
Wie kommst du da drauf? Komplexe gibt es doch nur im Zusammenhang mit der imaginären, die bei keiner anderen Art mit einfließt!
Meine Frage:
Was soll denn hier "logisch richtig" sein ?
hast du noch nicht beantwortet. Da würde mich eine Antwort doch noch interessieren.
Mit Rangfolge meinte ich die Unterordnung, die du ja richtig beschrieben hast durch Komplex - reell (imaginär als gegenteil) - rational (irrational als Gegenteil) und gebrochene sowie ganze als sonderfall und gebrochene kann auch irrational sein.
Der Graph der ersten Funktion ist eine horizontale Gerade. Jede Gerade ist gleichzeitig ihre eigene Tangente in jedem ihrer unendlich vielen Punkte.
In der zweiten Aufgabe hast du eine nach oben und eine nach unten geöffnete Parabel (sind übrigens zueinander kongruent). Sie würden sich genau dann in einem Punkt berühren, falls sie exakt einen gemeinsamen Punkt haben. Ob dies der Fall ist, kannst du z.B. durch Lösen einer quadratischen Gleichung prüfen. Dass du dann auch in der Lage bist, die Gleichung der allfälligen gemeinsamen Tangente herzuleiten, wollen wir doch hoffen ...
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jeden Buchladen bekommt.
Kapitel Differentialgeometrie.
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
1) Schritt: die Funktionen gleichsetzen und den Schnittpunkt ermitteln
2) Schritt: die Schnittstelle xo in die Formel einsetzen f´(xo)=... und f(xo)=...
x^2+2=-1*x^2+4*x ergibt 0=2*x^2+2-4*x
0=2*x^2-4*x+ 2 Nullstellen mit dem Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen habe
x=1 ist der Berührungspunkt xo=1
f(x)=x^2+2 ergibt f(1)=1^2+2=3
f´(x)=2*x ergibt f´(1)=2 eingesetzt
yt=ft(x)=2*(x-1)+3=2*x-2+3
Tangentengleichung yt=ft(x)=2*x+1
Probe: f(1)=1^2+2=3 yt=2*1+1=3 ist der Berührungspunkt
f´(1)=2*1=2=m ist die Steigung am Berührungspunkt
1) ist ganz einfach f(x)=0,5=konstnt f´(x)=0 und f(1)=0,5
yt=ft(x)=0*(x-1)+0,5=0,5=konstant
"Kapitel Differentialgeometrie"
Hopplaschorsch .....
(da will wohl einer richtig ran, vielleicht halt mit der Motorsäge statt mit dem Frühstücksmesser ...)
Hier wird nich gekleckert,sondern geklotzt.
Steht im Mathe-Formelbuch "Differentialgeometrie" und nich auf de Toilettentür!
Ääähh,eine Motorsäge hat doch viel mehr Leistung.
Wer arbeitet denn heute noch mit´n Frühstücksmesser?
Da kann man sich doch einen ganzen Tannenbaum hinten reinschieben ohne das man auf´n grünen Zweig kommt.
Setze die Gleichungen der Graphen gleich und ermittle durch Auflösen den Schnittpunkt.
"Die Funktion selbst als Tangente zu nehmen wäre auch falsch. weil es ja keine "Berührung" gibt!"
?????
Eine noch innigere Berührung als die einer Geraden (oder einer anderen Kurve) mit einer Kopie ihrer selbst kann es doch gar nicht geben !