HILFE BEI MATHE HAUSAUFGABEN EXTREMSTELLEN?
Wir haben die aufgabe das rot geschriebene im bild mathematisch zu beweisen also graphisch können wir das entweder mit verhalte - + unendlich und nullstellen der ableitung aber wie geht das mathemathisch??
2 Antworten
Es wird zunächst nur der Fall betrachtet, dass dass der Koeefizient der größten Potenz positiv ist. Die Funktion hat deshalb sowohl für x -> + unendlich als auch für x-> - unendlich den formalen Grenzwert + unendlich. Die Funktion muß deshalb mindestens ein Minimum haben. Wenn sie ein weiteres Minimum hat, muß sie zusätzlich ein Maximum haben und wenn sie ein Maximum hat muß sie ein weiteres Minimum haben.usw. Die Anzahl der Extremwerte ist also immer ungerade..
Die Aussage, dass eine ganzrationale Funktion vom geraden Grad n 4 keine gerade Anzahl an Extremwerten besitzen kann, ist nicht korrekt. Tatsächlich kann eine solche Funktion entweder keinen, einen oder zwei Extremwerte haben.
Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat die allgemeine Form:
f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
wobei a, b, c, d und e reelle Zahlen sind und a ≠ 0.
Die Extremwerte einer Funktion findet man, indem man die erste Ableitung der Funktion bildet und diese gleich null setzt:
f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
Um die Extremstellen zu finden, muss man diese Gleichung lösen (f'(x) = 0). Die Lösungen dieser Gleichung sind die kritischen Punkte, an denen die Funktion möglicherweise Extremwerte hat. Da es sich um eine kubische Gleichung handelt, kann sie bis zu drei reelle Lösungen haben. Allerdings bedeutet das Vorhandensein einer Lösung nicht automatisch das Vorhandensein eines Extremwertes; man muss zusätzlich die zweite Ableitung überprüfen oder das Verhalten der ersten Ableitung in der Nähe des kritischen Punktes analysieren.
Für eine ganzrationale Funktion vierten Grades können folgende Fälle auftreten:
- Keine reellen Lösungen: Die Funktion hat keine Extremwerte.
- Eine reelle Lösung: Die Funktion hat einen Sattelpunkt (kein Extremwert) oder einen Extremwert.
- Zwei reelle Lösungen: Die Funktion hat zwei Extremwerte.
- Drei reelle Lösungen: Die Funktion hat entweder einen oder drei Extremwerte, abhängig davon, ob einige der kritischen Punkte Sattelpunkte sind.
Es ist also möglich, dass eine ganzrationale Funktion vierten Grades keine oder zwei Extremwerte hat (was eine gerade Anzahl ist), aber es ist auch möglich, dass sie genau einen oder drei Extremwerte hat (was eine ungerade Anzahl ist).
Die mathematische Darstellung der Aussage wäre also inkorrekt formuliert. Stattdessen könnte man sagen:
"Eine ganzrationale Funktion vom geraden Grad n 4 kann bis zu zwei Extremwerte besitzen."
Diese Aussage lässt offen, wie viele Extremwerte tatsächlich vorhanden sind und schließt keine Möglichkeiten aus.
Die Funktion f(x) = x^4 -x^2 hat an den Stellen x=0 ein Maximum und an den Stellen x = +Wurzel(0,5) und x= -Wurzel(0,5) je ein Minimum,. also drei Extremwerte.
Auch an Wendepunkten kan die Ableitung den Wert Null haben. Durch Nullsetzen der Ableitung findet man also nicht zwangsweise die Anzahl der Extremwerte.