Hilfe bei Mathe. Beweisen?

Guten Tag, ich schreibe morgen eine Mathe Arbeit und verstehe das eine Thema nicht. Ich soll zum Beispiel beweisen, dass sin(2alpha) = 2sin(alpha)cos(alpha) ist. Wie soll ich das abstellen? Bitte mit Erklärung.

Answer 1

[mihisu]

Wenn ihr bereits das Additionstheorem

$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(\beta\right)+\cos\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(\beta\right)$

kennt, sollte das kein Problem sein. Betrachte da den Spezialfall β = α und vereinfache die beiden Seiten der Gleichung.

$\Rightarrow\ \sin\left(\alpha+\alpha\right)=\sin\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(\alpha\right)+\cos\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(\alpha\right)$ $\Rightarrow\ \sin\left(\alpha+\alpha\right)=\sin\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(\alpha\right)+\sin\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(\alpha\right)$ $\Rightarrow\ \sin\left(2\cdot\alpha\right)=2\cdot\sin\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(\alpha\right)$

Comments

[DavidScamander]

Ok, danke. Macht Sinn. Nur wie wäre es jetzt beispielsweise bei: sin(3alpha) = 2sin(alpha) - 4sin^3 (alpha) ?

[mihisu]

@DavidScamander

Erst einmal wird man Probleme haben, zu zeigen, dass...

sin(3α) = 2 sin(α) - 4 sin³(α)

... gilt. Da dies gar nicht im Allgemeinen gilt. Beispielsweise wäre für α = π/2 bzw. α = 90° die linke Seite der Gleichung gleich -1, die rechte Seite der Gleichung jedoch -2.

Vermutlich hast du (oder der Aufgabensteller) sich verschrieben, und es soll...

sin(3α) = 3 sin(α) - 4 sin³(α)

... lauten.

============

Da geht das im Grunde auch mit Hilfe der Additionstheoreme.

Man kann zunächst einmal sin(3α) als sin(α + 2α) umschreiben und dann entsprechend dem Additionstheorem aufteilen...

sin(3α) = sin(α + 2α) = sin(α) cos(2α) + cos(α) sin(2α)

Dann kann man cos(2α) = cos(α + α) =... bzw. sin(2α) = sin(α + α) =... weiter entsprechend der Additionstheoreme aufteilen.

Hier ein möglicher Beweis: https://i.imgur.com/ps9BqIA.png

Answer 2

[Mathetrainer]

Dazu benötigst du die Additionstheoreme von sin und cos. Du musst

sin (2\alpha) aufteilen in sin(\alpha + \alpha) und von da aus den Beweis führen.

Guck dir einfach dieses Video an:

https://www.youtube.com/watch?v=ut4tzKCizgQ