Hey, könnte mir eventuell jemand bei dieser Wahr oder Falsch Aufgabe zu dem Thema Analysis helfen?
Hey, dies ist die Aufgabe:
Könnte mir eventuell jemand hier helfen?
Vielen Dank.
3 Antworten
Der abgebildete Graph f'' zeigt die Steigung von f' (f'' ist quasi die 1. Ableitung von f').
a) bei x<0 sind die Funktionswerte von f'' negativ, d. h. f' ist in diesem Bereich fallend
b) die Steigung einer Funktion sagt nichts über ihre Funktionswerte aus. D. h. Du kannst einen Graphen beliebig weit nach oben oder unten verschieben - die Steigung bleibt dieselbe, d. h. diese Aussage kann stimmen, muss aber nicht...
c) für x>0 gilt laut gezeigtem Graph: f''(x)>0. Und das bedeutet, dass f linksgekrümmt ist.
d) f' ist linksgekrümmt, wenn deren 2. Ableitung, also f''' größer 0 gilt. Der gezeigte Graph lautet f''(x)=x, also f'''(x)=1, d. h. f'''(x)>0 => f' ist linksgekrümmt.
Es ist die zweite Ableitung gegeben, man kann sie aus dem Bild ablesen und recht einfach formulieren, da es einfach eine lineare Funktion ist (f''(x)=x)
In den Fragen wird sich auf die erste Ableitung oder auf die Funktion bezogen, also am besten Aufleiten.
f'(x)=1/2 * x^2
f(x) = 1/6 * x^3
Frag gerne nochmal nach wenn was nicht klar ist :D
in der Zeichnung sieht man das jedes x den gleichen Zahlenwert wie y hat (also bei x=1 ist y=2 und so weiter) also ergibt sich für die dargestellt Funktion "y = x" (für jedes x was ich einsetze ist das y gleich groß)
da es sich um die zweite Ableitung f''(x) handelt schreibe ich statt dem y
f''(x) = x
jetzt wird aufgeleitet um auf f'(x) und f(x) zu kommen.
Aufleiten ist das Gegenstück zum Ableiten. Das bedeutet wenn ich meine Aufgeleitete Formel ableite muss das selbe rauskommen.
Ableiten macht man ja so, dass der Exponent vor das x geschrieben und danach um -1 verkleinert wird (Beispiel: f(x)=x^2 -> f'(x)=2x).
Beim aufleiten gehe ich den entgegengesetzten weg. Erst den Exponenten um 1 erhöhen und dann mit 1/Exponent vorne anbringen. (Das gleiche Beispiel: f'(x)=2x -> f(x)= 1/2 * 2x^(1+1) und somit wieder zu x^2)
Okay, wie lassen sich damit aber genau die Aussagen beantworten?
Du hast ja jetzt die Funktionen f'(x) = 1/2 * x^2 und f(x) = 1/6 * x^3 die untersucht werden sollen
a) f'(x) ist streng monoton steigend. Da in der Funktion x^2 enthalten ist, handelt es sich um eine Parabel. Kannst dir ja mal anschauen wie sowas aussieht oder probeweise eine Skizze machen indem man x Werte einsetzt und ausrechnet (also -2, -1, 0, 1, 2). bei steigend und fallend geht man immer von links nach rechts vor und wird feststellen, dass es bis (0,0) fällt und dann erst steigt -> aussage falsch
und bei den anderen geht man auch so vor
für b) richtig, durch das x^2 kann ich keine negativen Zahlenwerte für y rausbekommen, da das quadrieren immer für - * - = + sorgt. auch hier wieder, der kleinste Zahlenwert wär 0,0. Auch hier wieder einfach mit einer Skizze zu lösen, wenn man keine Vorstellung von einer Parabel hat
Okay, vielen Dank. Könntest du dies eventuell außerdem für die c und die d machen? Dies wäre super.
Hast du einen Grafikfähigen Taschenrechner? Dann hau da einfach mal die Funktionen rein und anschauen. Ansonsten kann ich Geogebra empfehlen weil bei einer x^3 Funktion wird's schwierig deren Verlauf zu erklären.
Auf jeden Fall sind beide Richtig, man sieht es dann ja anhand von dem Graph
Okay, wie lässt sich dies aber mithilfe von der zweiten Ableitung erklären? Also kann man nicht beispielsweise sagen, da f‘‘(x)>0 ist, ist die Funktion f(x) linksgekrümmt, gibt es so etwas auch für die Ableitungsfunktion?
Naja anhand von der zweiten Ableitung und dem aufleiten kommt man ja erst auf den Funktionsgraphen.
Ansonsten kann man auch den Weg gehen sich zu überlegen wenn bei der 2. Ableitung x^1 steht, muss bei der Ausgangsfunktion x^3 stehen (da man zwei mal aufleitet also x^(1+1+1))
und wie x^3 aussieht sollte man eigentlich drauf haben. alle positiven x-Werte die ich einsetze werden sehr schnell zu sehr großen y-Werten.
alle negativen x-Werte die ich einsetze werden genau so schnell sehr groß, bleiben aber negativ, da jetzt - * - * - = - bleibt.
Man braucht halt ein Bild von der Funktion um sich das vorzustellen
und wenn ich dann von links aus an die Funktion komme habe ich dadurch eine Linkskurve
Würde dir gerne ein Bild hier rein laden weiß aber nicht wie das geht
Was wissen wir?
f' ist eine oben offene Parabel, die sowohl im positiven, als auch im negativen Bereich liegen kann.
Also sind a) und b) als generelle Aussage schon mal falsch.
f' hat überall eine Linkskurve, da es eine oben offene Parabel ist. Also ist c richtig.
Nachtrag (nochmals nachgedacht) :
Dass f' für x>0 auch negativ sein kann, ändert nichts daran, dass der Anstieg größer wird. Aber wenn er weniger negativ wird, gibt es bei f(x) auch eine Linkskurve. Demnach ist d) doch richtig.
Okay, vielen Dank. Woher weist du aber, wie f(x) und f‘(x) aussieht?
f(x) steigt stetig. Anfangs ist f(x) negativ, also geht f'(x) steil nach unten. Dann geht es immer weniger steil nach unten, bis es bei f'(0) waagerecht wird. Und dann geht es immer steiler nach oben.
Das gibt halt eine Parabel. Wo die liegt, weiß keiner, nur dass der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt.
Dadurch wird das Weiterdenken erschwert, weil man sowohl an den ersten, als auch an den 4. Quadranten denken muss.
Ich habe beide Varianten von f'(x)aufgemalt und dann je eine Kurve gezeichnet, die so steil ist wie der Wert von f'(x).
Das ist ein wenig Gehirnakrobatik, darum lag ich anfangs falsch.
Okay, vielen Dank. Wie bist du jedoch auf diese Zahlen gekommen?