Hey, ich hätte ein wichtige Frage für die Bestimmung der Monotonie?
Hey, bei dem folgenden Beispiel werden die Intervalle nach den Nullstellen her eingeteilt. Dadurch wird dann bestimmt, welche genaue Monotonie es im welchen Intervall hat. Meine Frage ist es nun, ob man die Monotonie mit dieser Einteilung (nach den Nullstellen) auch so lösen kann, wenn der gezeichnete Graph nicht vorab gegeben ist, wie hier? Der Graph, also die Zeichnung, muss für diese Methode gegeben sein, oder?:
Vielen Dank.
3 Antworten
Grundsätzlich kann es zwischen 2 Nullstellen von f keine Monotonie geben.
Und rationale Funktionen 2. Grades (mit x²) sind außerhalb der Nullstellen (falls vorhanden) streng monoton steigend bzw. fallend
Ja, ok. Ich hatte mich auf die gesamte Strecke von Nullstelle zu Nullstelle bezogen. Ich dachte, die Frage bezieht sich nur auf Nullstellen-Grenzen.
Der Graph, also die Zeichnung, muss für diese Methode gegeben sein, oder?:
Nein. Du siehst doch, dass in der Lösung keinerlei Referenz auf den Graphen genommen wird. Der Graph dient nur zur Veranschaulichung der Regel:
f'(x) < 0 → streng monoton fallend
f'(x) > 0 → streng monoton steigend
Ja, aber woher weis ich denn, ob f‘(x)<0 beispielsweise ist, ohne den Graphen zu sehen?
Aus den Nullstellen der Ableitung. Steht in der Lösung exakt aufgeschrieben.
f'(x) = x - 1 damit ist x = 1 die Nullstelle von f'(x). Damit ist die Schlussfolgerung auch: f'(x) < 0, wenn x< 1 und f'(x) > 0, wenn x>1 ist.
Du kannst auch direkt zwei Ungleichungen lösen (Man rechnet nur eher ungern mit Ungleichungen -- zumindest ich auch wie die Lösung -- und daher schaut man sich meist lieber die Nullstelle an und bestimmt das Vorzeichen links und rechts davon)
f'(x) < 0 <=> x - 1 < 0 <=> x < 1
f'(x) > 0 <=> x - 1 > 0 <=> x > 1
Ja, aber bei der Schlussfolgerung könnte man doch auch meinen, dass bei x<1 dann f‘(x)<=0 , weil nach der 1 doch auch noch die Null kommt, wieso wird diese nicht mit einbezogen?
Also woher weis ich denn, ob bei x<1 f‘(x)<0 oder >0 ist, ohne auf den Graphen zu schauen?
Muss ich die Nullstellen dann in die erste Ableitungsfunktion einsetzen?
Du brauchst keine Graphen zu sehen, um die Monotonie bestimmen zu können!
Mit den Nullstellen der Ableitung bestimmst Du die einzigen Stellen des Graphen, an denen möglicherweise die Steigung der Funktion das Vorzeichen wechselt. Das tatsächliche Vorzeichen (und damit die Monotonie) bestimmst Du dann, indem Du Werte "kurz vor" und "kurz hinter" diesen Ableitungsnullstellen in die Ableitung einsetzt.
In Deinem Beispiel kommst Du auf x=1 als Nullstelle der Ableitung. Setzt Du einen Wert "kurz vor" x=1 in die Ableitungsfunktion ein, also z. B. x=0,99, so erhältst Du einen negativen Wert, d. h. der Graph von f verläuft vor dieser Nullstelle fallend. Bei z. B. f'(1,01) erhältst Du einen positiven Wert, d. h. dort ist f steigend.
Es kann auch durchaus sein, dass vor und hinter einer "Ableitungsnullstelle" das Vorzeichen das gleiche bleibt. Das bedeutet, der Graph geht vor und hinter dieser Nullstelle weiter in dieselbe Richtung - somit hat der Graph an dieser Stelle eine Wendestelle. Klassisches Beispiel: f(x)=x³, f'(x)=2x². hier gilt f'(x)=0 für x=0, vor und hinter x=0 ist f' positiv, d. h. f steigt sowohl vor als auch hinter x=0. Und wie der Graph von f(x)=x³ tatsächlich verläuft ist Dir ja bestimmt bekannt (oder schau ihn Dir mal an): er steigt über den gesamten Definitionsbereich und hat bei x=0 einen Sattelpunkt (=Wendestelle mit Steigung 0).
Wie meinst Du das denn? Bei einer Parabel gibt es eine Monotonie zwischen zwei Nullstellen. Eine bis zum Scheitelpunkt und eine entgegengesetzte Monotonie ab dem Scheitelpunkt. Und der Scheitelpunkt liegt zwischen den 2 Nullstellen