Heisenberg'sche Unschärferelation Energie-Zeit
Hallo, ich hab da ne Frage zur Unschärfe von Energie und Zeit. Und zwar gibt es ja die Orts-Impuls Unschärfe, wir grenzen den Ort ein, können aber dann nicht den Impuls scharf messen. Soweit klar. Aber was misst man bei der Zeit in der Energie-Zeit Unschärfe? Zeit ist doch nichts was ein Teilchen besitzen kann oder? Ich könnte höchstens fragen wie viel Zeit hat das Teilchen für die Strecke AB gebraucht, aber das wäre ja dann Geschwindigkeit. Oder ist Zeit doch auf Teilchenebene ein Attribut? Über eine Logische Antwort würde ich mich freuen und die Beste Erklärung kriegt auch den Stern :D
4 Antworten
Da alle Teilchen in der Quantenmechanik ja auch Wellen sind, läuft die Messung einer Energie immer auf die Messung einer Frequenz hinaus. Eine Frequenz mißt man aber umso genauer, je mehr Cyclen man abwartet. Mißt man länger, dann beommt man eine genauere Energie, aber weiß nicht mehr, zu welchem Zeitpunkt das Teilchen eigentlich genau diese Energie hatte. Ist ein Teilchen/Zustand sehr kurzlebig, dann kann man nicht lange daran messen, und deshalb ist die Energie sehr unscharf.
OK, das war jetzt fast bis zur Unkenntlichkeit vereinfacht. Es ist zwar nicht falsch, läßt aber vieles Wichtige weg. So wie die Erklärung oben steht, würde sie auch zum Mißverständnis einladen, in der Unschärfe nur ein Problem bei der Messung zu sehen — man geht aber allgemein davon aus, das die Unschärfe nicht erst bei der Messung entsteht, sondern intrinsisch am System klebt (Anhänger von Bohm sehen das natürlich anders).
Deshalb bessere ich die Erklärung nach. Aber die Nachbesserung setzen mehr Wissen voraus, und ich weiß nicht, ob Du das mitbringst.
Wenn Du weißt, was eine Fouriertransformation ist, dann kann ich es viel einfacher sagen: Kurze Wellenzüge (die nur kurz existieren und aus nur ein paar Schwingungen bestehen) haben keine scharf definierte Frequenz — das ist übrigens in der Akustik genauso und gar nichts mit Quantenmechanik zu tun. Kurzlebige Zustände haben daher keine scharfen Energien. Das kann man quantifizieren, indem man Wellenzüge mit gaußförmiger Frequenzverteilung bastelt (die Frequenz ist ja die reziproke Größe zur Zeit).
In gewissem Sinn ist das aber Gefrickel. Unschärfe entsteht in der QM aus Kommutatorrelationen (Operatoren kommutieren nicht), aber zur Zeit gibt es keinen Operator; die ist in der QM nur ein Entwicklungsparameter, genauso wie in der klassischen Mechanik. Deshalb kann man diese Arten von Unschärfe nicht auf gleiche Art beschreiben. Wirklich befriedigend bekommt man die E/t-Unschärfe wohl nur mit der Quantenfeldtheorie hin, aber die kann ich nicht.
Die quantenmechanische Unbestimmtheit das Paar Energie und Zeit betreffend lässt sich gut verdeutlichen am Beispiel sog. virtueller Teilchen:
Man versteht darunter extrem kurzlebige Paare von Elementarteilchen, die durch Quantenfluktuation spontan aus dem Nichts entstehen (eines der beiden ist Materie, das andere ist Antimaterie). Wie Heisenbergs Unschärferelation uns zeigt, sind sie zunehmend energiereicher, je kürzer sie leben.
Um zu betonen, dass quantenmechanische Unschärfe nichts mit Messungenauigkeit zu tun hat, sondern stattdessen eine in der Natur vorhandene Unbestimmheit ist, spricht man heute eher von Heisenbergs Unbestimmtheitsrelation.
Da jedes Elementarteilchen sich wellenförmig auf- und abbauendes Wirkpotential darstellt, kann man sich jene Unbestimmtheit sehr gut vorstellen.
Nebenbei: Die Unbestimmheitsrelation für Energie & Zeit lässt sich zurückführen auf die für Ort & Impuls ( Wikipedia erklärt das sehr schön auf Seite http://de.wikipedia.org/wiki/Energie-Zeit-Unsch%C3%A4rferelation ).
Ah, ein gutes Beispiel. Habe garnicht daran gedacht das auf die Quantenfluktuation zu übertragen.
Ein Elektron fliegt in x-Richtung durch einen Spalt der Breite d.
Dann weiß man seinen Ort in y-Rg. mit der Genauigkeit Δy = d.
Je kleiner d ist, desto stärker wird die Welle des Elektrons gebeugt,
desto größere y-Komponenten seiner Geschw. vᵧ nach dem Spalt treten auf,
desto größer ist Δvᵧ und Δpᵧ und es ist Δpᵧ ~ 1/Δy bzw. Δy • Δpᵧ = const.
Nun gilt dasselbe auch in x-Rg. Je genauer man den Zeitpunkt des
Durchgangs durch den Spalt kennt, also je kleiner die Zeitunschärfe Δt,
desto genauer weiß man den Ort des El. zu einem bestimmten Zeitpunkt,
nämlich den Spalt. Je kleiner die Ortsunschärfe Δx , desto größer muss
Δvₓ, Δpₓ und ΔW sein. Daher ist plausibel ΔW ~ 1 / Δt.
Unterschied: Ort und Impuls sind Vektoren, Zeit und Energie Skalare.
energie-zeit unschärfe ist in der tat nicht gleichwertig mit der "normalen" unschärfe relation (wie z.B. zwischen ort und impuls, aber es gibt ja andere auch noch). das hat mathematische gründe (es gibt keinen zeitoperator in der quantenmechanik).
ΔE ist einfach die energieunschärfe, hier gibt es keine probleme. die frage ist, was ist eigentlich Δt in der gleichung, denn erstmal ist nicht so klar was die "zeitunschärfe" eigentlich sein soll, wenn es keinen zeitoperator gibt. Δt ist keine fundamentale größe, sondern immer nur über eine andere observable definiert, die man quasi als "uhr" benutzt.
die bedeutung der energie-zeit-unschräferelation lautet in etwa, dass sehr kurzlebige zustände keine scharfe energie haben, bzw. dass nur stabile zustände eine exakt definierte energie haben können. das macht sich z.B. in atomspektren bemerkbar. wenn ein elektron aus einem angeregten zustand in den grundzustand zurückfällt, dann wird dabei ein photon ausgesandt. je kurzlebiger der angeregte zustand ist, desto unschärfe ist die energie dieses zustandes, und desto weiter kann die tatsächliche energie des abgestrahlten photons um den mittelwert streuen. alle linien im spektrum eines atoms haben also eine gewisse breite, und sie sind umso breiter je kürzer die lebenszeit des jeweiligen angeregten zustandes ist. (ganz analog haben zum beispiel elementarteilchen die sehr schnell zerfallen keine scharf definierte masse).