Frage von Nadeshda99, 39

Hallo an alle Mathematiker?

Habe hier eine Matheaufgabe aus dem Lambacher Schweizer 12 Klasse Gymnasium, es ist nicht so, dass ich zu faul bin um meine Hausaufgaben zu machen, aber ich versuche schon seit über einer Stunde diese Aufgabe zu lösen und brauche dringend Hilfe....

Die Punkte A(2/-2/0), B(2/2/0), C(-2/2/0) und D(-2/-2/0) sind die Ecken der Grundfläche einer Pyramide. Es gibt zwei Pyramiden mit dem Volumen V 192, deren Spitze auf der Geraden g: r* (1/-2/1) liegen. Berechnen sie die Koordinaten der Spitzen.

Kann mir bitte jemand vorrechnen was zu tun ist??? Danke

Antwort
von eddiefox, 14

Hallo,

die Grundfläche G der Pyramide P hat den Flächeninhalt 4*4 = 16 (G ist ein Quadrat der Seitenlänge 4 mit Mittelpunkt (0;0;0)).

Nun brauchen wir die Höhe der Pyramide P.

Die Spitze S der Pyramide liegt auf der Gerade (r; -2r; r), r ∈ ℝ. 

(r; -2r; r) sind also die Koordinaten von S.

Da die Gerade bzgl. der Grundfläche G (durch den Mittelpunkt von G und) "schräg nach oben" geht, kann die Projektion der Spitze auf die Grundfläche ausserhalb G liegen. Das ist aber egal, da uns zur Berechnung des Volumens nur die Höhe h interessiert.

Die Projektion S' des Punktes S(r; -2r; r) auf die Grundfläche G hat die Koordinaten (r; -2r; 0). Die Länge des Vektors vec(SS') ist also r.

Berechne r derart das Vol(P) = 192 :

(1/3)r * 16 = 192 <=> r = 192*3/16 = 36

Das gleiche Volumen erhält man für r = -36, wenn wir vereinbaren, dass wir nur positive Volumina zulassen.

Einsetzen von r in die Koordinaten von S ergibt dann die beiden Koordinaten der Spitze S.

Gruss

Kommentar von eddiefox ,

P.S. Man schreibt besser : die Länge des Vektors vec(S'S), also die Höhe h der Pyramide  ist also h = |r|.

Antwort
von HanzeeDent, 15

Spitze Pyramide 1:

(C-A)/2 -> Mittelpunkt Grundfläche

Ebene konstruieren, die die Grundfläche einschließt:

E_G: x = (C-A)/2 + a(C-A) + b(B-A)  (zum Beispiel)

Normale bestimmen:

(C-A)X(B-A)

Damit eine Geradengleichung aufstellen, die in diese Richtung zeigt und den Mittelpunkt einschließt:

h: x = (C-A)/2 + c[(C-A)X(B-A)]

Dann den Schnittpunkt S1 von h und g berechnen.

Antwort
von PhotonX, 13

Schreibe das Volumen der Pyramide durch die gegebenen Größen in Abhängigkeit von r. Das ist sehr einfach, weil die Grundfläche in der xy-Ebene liegt und somit die Höhe einfach die z-Koordinate der Spitze ist. Hilft dir das weiter?

Antwort
von HanzeeDent, 18

Die zweite Pyramide könnte doch überall unter der Gerade stehen, oder nicht?

Kommentar von HanzeeDent ,

Ist das Gesamtvolumen von beiden Pyramiden gemeint?

Kommentar von Nadeshda99 ,

Das weis ich leider auch nicht. Ist alles ziemlich wage angegeben. Aber trotdem vielen Dank für die Mühe!!!

Kommentar von HanzeeDent ,

Möchtest du die Aufgabe vielleicht abfotografieren? Mir kommt das etwas spanisch vor, habe mir die Gerade angeschaut und die müsste direkt durch den Mittelpunkt der Grundfläche laufen.  Ist vielleicht die Spitze EINER Pyramide gefragt?

Dann: V = 1/3 a*b*h = 16/3*h  ---> h = V*3/16

Dann musst du bloß den Betrag des Richtungsvektors*r deiner Geraden in Abhängigkeit von r angeben und dies mit der Höhe gleichsetzen.

Kommentar von Nadeshda99 ,

Kamara geht leider nicht aber es steht ausdrücklich: Es gibt zwei Pyramiden mit dem Volumen V.... die Aufgabe ist beim Thema Hessesche Normalenform, kann man die da irgendwie anwenden?

Kommentar von HanzeeDent ,

Nein, die Aufgabe macht keinen Sinn. Entweder es fehlt etwas, oder es ist etwas falsch.

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