Halbwertszeit Uran 238 berechnen?
Es ist mir schon klar, dass die HWZ von U 238 4,468 mal 10^9a = 4,468 Milliarden Jahre betraegt. Aber wie kommt man eigentlich auf diesen Term 4,468 (10^9a)?
5 Antworten
Formel für den radioaktiven Zerfall
N(t)=No*e^(-b*t)
No=zerfallsfähige Kerne zum Zeitpunkt t=0
b=Zerfallskonstante ist abhängig vom Material
Aus den Zerfallsgesetz (N2-N1)+b*N*(t2-t1)=0
N=zerfallsfähige Kerne zum Zeitpunkt t1
N1=zerfallenen Kerne zum Zeitpunkt t1
N2=zerfallenen Kerne zum Zeitpunkt t2
geht nun das Zeitintervall (t2-t1) gegen NULL
so ergibt sich
dN+b*N*dt=0
Aus dieser Differentialgleichung ergibt sich die Formel N(t)=No*e^(-b*t)
Außerdem ergibt sich daraus
A(t)=Ao*e^(-b*t)
Ao=Aktivität zum Zeitpunkt t=0 (zerfallenen Atomkerne in 1 Sekunde)
Daraus kann man dann die Zerfallskonstante b errechnen
A(t)/Ao=e^(-b*t) logarithmiert
ln(A(t)/Ao)=-b*t
b=ln(A(t)/Ao)/(-t)
A(t) und Ao und t kann man messen.
Man nimmt eine bekannte Anzahl n Atome davon und zählt für einem bestimmten Zeitabschnitt Δt, wie viele Zerfälle Δn stattfinden.
Δn / (n Δt) ist die Zerfallskonstante λ
ln(2) / λ = ln(2) n Δt / Δn ist die Halbwertszeit T
Vermutlich mittels Messungen. Auch eine geringe Radioaktivität läßt sich messen, wenn man eine hinreichende Menge des Elementes zur Verfügung hat.
Man Weiß das die Aktivität exponentiell abnimmt. Also misst man wie stark die Aktivität über eine Zeit lang hinweg abnimmt. Daraus ergibt sich eine Zeitkonstante aus der man die Halbwertszeit berechnen kann.
So kann man es machen, wenn die Halbwertszeit des betreffenden Stoffs kurz genug ist, um während der eigenen Lebenszeit messen zu können, wie die Aktivität abnimmt.
Bei einem so langlebigen Nuklid wie Uran 238 würde das ganz schwierig. Im Verlauf eines Forscherlebens hätte man zur Beobachtung wenig mehr als ein 10^8-tel der Halbwertszeit zur Verfügung. Die Aktivität fällt während dieser 44,68 Jahre rechnerisch auf das 0.999999993-fache des Anfangswertes, also um etwa 7 Milliardstel.
Um eine so kleine relative Abnahme der Zählrate überhaupt nur ablesen zu können, (wenn sie denn so eindeutig angezeigt würde), müßte schon mit entsprechend vielen Stellen gezählt werden. Aber damit das, was man tatsächlich abliest, auch etwas aussagt, muß der abgelesene Unterschied deutlich über das statistische Grundrauschen der Zählrate hinausgehen. Sagen wir: über die Standardabweichung, die bei n Ereignissen √n beträgt. Wir brauchen also gleich doppelt so viele, nämlich zwanzig Zählerstellen.
Wie will man die bei einer spezifischen Aktivität von nur 12450 Bq/Gramm vollaufen lassen? Wenn der Zähler ein Jahr läuft, müßten gut 250 Tonnen U-238 auf den Detektor einstrahlen, um eine ausreichende Zählrate hinzubekommen.
Viel einfacher geht es, wenn man nur die spezifische Aktivität mißt und die Halbwertszeit direkt daraus berechnet.
Das ist eben die mathematische Schreibweise. Wie soll man sonst auf einen Term kommen?