Graph einmal um X-Achse und einmal um Y-Achse drehen lassen?
Also ich soll den Graphen f(x)=1/2*√x2 einmal um die X-Achse und einmal um die Y-Achse drehen lassen, um dann zu sehen, wie sich die Volumina der beiden Körper zueinander verhalten. Der Intervall für die X-Achse wäre [1;4]. Um die X-Achse rotieren zu lassen ist kein Problem, allerdings verstehe ich nicht, wie ich den Graphen um die Y-Achse rotieren lassen soll, da ich ja nicht den gleichen Intervall nocheinmal verwenden kann. Wie geht man hier vor?
3 Antworten
Hallo,
ganz so einfach ist es doch nicht.
Du bildest auf jeden Fall die Umkehrfunktion f^(-1)(x)=4x².
Dann paßt Du die Integrationsgrenzen an, denn f(1)=0,5 und f(4)=1.
Die neue Funktion muß also von 0,5 bis 1 integriert werden.
Wenn Du aber den Rotationskörper über dieses Intervall berechnest, bekommst Du alles, was rechts von dem Graphen bis x=1 ist, also außerhalb.
Du brauchst aber das Volumen innerhalb, das dazu noch eine Art Torus bildet mit einem Loch in der Mitte.
Du berechnest daher zunächst das Volumen eines Zylinders mit r=4 und h=1, was 16pi ergibt.
Davon ziehst Du das Rotationsvolumen von f^(-1)(x)=4x² zwischen 0,5 und 1 ab, also pi*Int (0,5 bis 1) über (4x²)², was 3,1pi ergibt.
Bleibt noch das Loch in der Mitte, ein Zylinder mit r=1 und h=0,5, also 0,5pi.
(16-3,1-0,5)pi=12,4pi=38,956 Kubikeinheiten.
Mach Dir eine Zeichnung, dann kannst Du es leichter nachvollziehen,
und vergiß meine vorige Antwort.
Die liefert zwar auch ein Rotationsvolumen um die y-Achse, aber nicht das gesuchte.
Die 38,956 Kubikeinheiten habe ich mit einem Matheprogramm überprüft. Sie sind korrekt.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
laß einfach die Umkehrfunktion um die x-Achse rotieren. Das ist im Endeffekt das Gleiche, als würdest Du die Funktion um die y-Achse rotieren lassen.
Die Umkehrfunktion bildest Du, indem Du in der Funktionsgleichung y=Blabla-x
x und y vertauschst und die so entstandene Gleichung wieder nach y (das vorher x war) auflöst.
Herzliche Grüße,
Willy
Bei genauerer Betrachtung ist es besser anders:
Was passiert, wenn Du den Funktionsgraphen in den angegebenen Grenzen um die y-Achse rotieren läßt?
Du bekommst eine Art Muffin mit flacher Unterkante, deren Fläche ein Kreisring bildet: Fläche des Kreisrings gleich pi*4²-pi*1²=15 pi.
Wenn Du diese Fläche mit der Fläche unter dem Integral multiplizierst, solltest Du das gesuchte Volumen erhalten.
Das geht leider nicht, da dort keine Funktion steht! Du hast mindestens ein x vergessen!
Der gleiche Graph geht auch nicht um die y-Achse zu drehen, weil die Wurzelfunktion W(2x) symmetrisch zur x-Achse ist! Ginge nur mit der Umkehrfunktion!
Hab mir Skizze angeschaut, geht doch, nur für Rotation um y-Achse müsste entsprechendes Intervall angegeben sein, da um die x-Achse längs der Steigung und bei y-Achse quer rotiert!
ups, die Formel lautet f(x)=1/2*√x!