Globalverhalten von Graph bestimmen?
Woher weiß ich, dass ein Graph eine Funktion beliebigen Grades ist, wenn nur der Graph und nicht die Funktion gegeben ist. Also nur die Zeichnung.
1 Antwort
Das sind jetzt nicht alle möglichen Typen von Funktionen, aber die, bei denen mir auf Anhieb einfällt, wie sie aussehen:
Für Polynomfunktionen gilt: Sie haben stets zwei "Äste", die "ins Unendliche verschwinden"
- Kommt der Graph von links oben und geht nach rechts oben [Form in etwa wie W], ist die Funktion ein Polynom geraden Grades, mit positivem Vorzeichen vor dem Glied mit dem höchsten Exponenten, z.B. f(x) = 2x⁶ + ....
- Kommt der Graph von links unten und geht nach rechts unten [Form in etwa wie M], ist die Funktion ein Polynom geraden Grades, mit negativem Vorzeichen vor dem Glied mit dem höchsten Exponenten, z.B. f(x) = -3x⁴ + ....
- Kommt der Graph von links unten und geht nach rechts oben [Form in etwa wie N], ist die Funktion ein Polynom ungeraden Grades, mit positivem Vorzeichen vor dem Glied mit dem höchsten Exponenten, z.B. f(x) = x⁵ + .....
- Kommt der Graph von links oben und geht nach rechts unten [Form in etwa wie \/\], ist die Funktion ein Polynom ungeraden Grades, mit negaitivem Vorzeichen vor dem Glied mit dem höchsten Exponenten, z.B. f(x) = -2x³ + .....
- Der Grad des Polynoms ist immer mindestens um 1 größer als die Anzahl der lokalen Extrema ("Wellentäler und -berge).
Beispielsweise eine Funktion, deren Graph in etwa so aussieht
\
\/\/\/\
\
wäre also ein Polynom der Form f(x) = -ax⁷ + ..., f(x) = -ax⁹ + ... oder noch höheren ungeraden Grades.
(Unter diese Beschreibung von Polynomfunktionen fallen auch lineare Funktionen - sie haben keine (0) Extrema und den Grad 1.)
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- Bei Graphen, die ständig um die x-Achse pendeln und nie "ins Unendliche verschwinden", handelt es sich um Sinus- oder Cosinus-Funktionen.
- Graphen, die aus (unendlich) vielen Abschnitten bestehen, die alle quasi parallel "von einer Unendlichkeit in die andere" verlaufen, gehören zu Tangens- oder Cotangens-Funktionen.
Mehr oder weniger periodische Graphen sind also ein deutlicher Himweis auf trigonometrische Funktionen. Dabei kann immer durch wenige Umformungen eine Sinus- auch als Cosinus-Funktion, eine Tangens- auch als Cotangens-Funktion geschrieben werden und jeweils umgekehrt.
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Graphen, die aus mehreren (endlich vielen!) Abschnitten bestehen, wobei jeder Abschnitt für sich "in der gleichen Unendlichkeit verschwindet, aus der er kommt", deuten auf gebrochen-rationale Funktionen.
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Graphen, die an "einem Ende" nahezu waagerecht und am "anderen Ende" nahezu senkrecht verlaufen, sind meist Exponentialfunktionen.