Gleichung nach x auflösen?
Wie löst man diese Gleichung am Anfang richtig nach x auf?
3x + 4 = e^x
5 Antworten
Hallo,
das kannst Du nicht nach x auflösen, weil x einmal Faktor und einmal Exponent ist.
Du kannst hier nur Näherungsverfahren anwenden oder, wenn Du damit umgehen kannst und ein entsprechendes Programm hast, die Lambertsche W-Funktion als Umkehrfunktion von f(x)=x*e^x benutzen nach entsprechenden Umformungen der Gleichung.
Deren Funktionswerte lassen sich aber auch nur über Näherungsverfahren bestimmen.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Lösungen (über die W-Funktion bestimmt) lauten x1=-1,236537333
und x2=2,421712877, sind aber nur Näherungen.
Hier noch die Umformung:
3x+4=e^x |*e^(-x)
(3x+4)*e^(-x)=1 |*(-1/3)
(-x-4/3)*e^(-x)=-1/3 |*e^(-4/3)
(-x-4/3)*e^(-x*-4/3)=(-1/3)*e^(-4/3)=-0,08786571271.
Substituiere (-x-4/3) durch u:
u*e^u=-0,08786571271.
Die Umkehrfunktion W(u) liefert dazu zwei Werte:
u1=-0,096796 und u2=-3,75504621 (kannst Du z.B. über Wolfram Alpha ermitteln).
Nun wieder resubstituieren und nach x auflösen führt zu den von mir angegebenen Lösungen.
Gleich den Logarithmus anwenden.
Bei deiner Rechnung hast du einen BÖSEN Fehler gemacht.
Du hast den Satz vom Nullprodukt auf die 1 angewendet.
Diese Trennung der Gleichung in zwei Fälle e^(-x) = 1 und 3x-4 = 1 ist falsch.
Aus a*b=1 folgt NICHT a= 1 oder b=1 !!!!!
Ich weiß! .....siehe meine späteren Anwerkungen.
Ich wollte nur darauf hinweisen, dass man nicht kompliziert e^x auf die andere Seite bringen muß, um den Logarithmus anwenden zu können.
Wichtiger war mir hier auf den "Satz vom Einsprodukt" hinzuweisen.
Mit "normalen" Mitteln kann man hier nix machen .
Was beim Satz für das Nullprodukt gilt , gilt nicht für die 1
.
Mit einer recht genauen Zeichnung kann man eine Näherungslösung , nein sogar zwei ablesen
ich hab es an den Graphen auch ablesen können, dass es 2 Schnittpunkte gibt. Ich verzweifle nur an der Berechnung dieser :/
Wie kommst du in der vierten Zeile darauf den Satz vom Nullprodukt anwenden zu wollen? Da steht doch gar kein Nullprodukt.
Eine solche Gleichung läßt sich üblicherweise nur numerisch lösen.
https://www.gutefrage.net/frage/wie-benennt-man-problem-und-loesung-von-x22x
Könntest du den natürlichen Logarithmus nicht schon als ersten Schritt verwenden? Dann hast du das X erstmal unten und kannst dann einfach umformen.
Nein darum geht es nicht. Das Wort "einfach" ist falsch. Man Kann schon was Umformen, aber so kommt man zu keiner Lösung.
Hier kommt man weder durch einfache Umformungen noch durch schwierige Umformungen zu einer Lösung.
Und wieso nicht? Wie gelange ich dann zu der Lösung?
Wieso Nicht? Na einfach weils nicht geht. Du hast einen Logarithus, da ist mit Äquivalenzumformungen eben nichts zu machen.
Wie gelange ich zu einer Lösung? z.B. mittels der Lambertsche W-Funktion die eine Umkehrung der e-Funktion x*e^x ist.
Oder durch Näherungsverfahren. In der Numerik (Teilgebiet der Angewandten Mathmatik) lernt man optimierte Näherungsverfahren für solche Probleme. Heutzutage kann man diese Lösungen schnell durch Computerprogramme bestimmen lassen.
Auch wenn Du den Logarithmus sofort anwendest, hilft Dir das nicht weiter, denn nun ist x einmal Faktor von 1, dann aber auch Teil des Argumentes des Logarithmus. Es gibt keine Möglichkeit, diese Gleichung zu einer trivial lösbaren umzuformen.