Gleichförmige Beschleunigung: Wo kommt da die " 0,5" her?
Für die Strecke gilt diese (vereinfachte) Formel:
s [m] = 0,5 · a[m/s²] · t[s]²
Für die Geschwindigkeit dagegen diese:
v[m/s] = a[m/s²] · t[s]
Was besagt die "0,5" in der ersten Formel, wo kommt dies her, wie ist das begründet? Bloses Umstellen der Formel klärt das Problem ja nicht.
3 Antworten
Du leitest auf.
wir gehen davon aus, dass gilt:
a(t)=a (t^n -> n=0)
Die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit, sie gibt also die Steigung der Geschwindigkeit an. Damit ist a(t) die Ableitung von v(t).
Leitet man nach den üblichen Integrationsregeln (f(x)=x^n -> F(x)= x^(n+1)/n+1 auf, gilt:
A(t)=v(t)=a*t (Konstantenregel -> A(t)=a*t^0+1/0+1=a*t^1/t=a*t)
Die Geschwindigkeit gibt an, wie stark sich der Weg über die Zeit gesehen ändert, ist damit also die Steigung der Geschwindigkeit, worauf man schlussfolgern kann, dass V(t)=s(t) gilt.
V(t)=a*t^1+1/1+1=a*t^2/2 =a/2 * t² = 1/2 * a * t² =0,5 * a * t² :)
Wie meinst du anschaulich? Das anschaulichste ist wahrscheinlich, dass du durch logischerweise die Geschwindigkeit mit a*t berechnest, weil du ja nach so und so viel Zeit auf eine bestimmte Geschwindigkeit kommst, wie schnell, entscheidet die Beschleunigung. Und dann musst du verstehen, dass die Ableitung von s(t)=v(t) ist, und s(t) daher abgeleitet v(t) ergeben muss, was durch 0,5*a*t² der Fall ist.
Wie gesagt, schon klar und verstanden. Weder darf man auf die Idee kommen, die beiden Gleichungen direkt umzustellen... noch sich das "bildlich" vorstellen. Mein Fehler ist, ich versuche immer, mir Mathematisches auch anschaulich zu machen. Da habe ich mir das in diesem Fall zu einfach gemacht.
ich hatte vorhin auch noch diese Frage gestellt, vielleicht hast du ja Lust... ;--))
Mein Fehler ist, ich versuche immer, mir Mathematisches auch anschaulich zu machen. Da habe ich mir das in diesem Fall zu einfach gemacht.
Das ist kein Fehler. Die visuelle Vorstellung ist eine sehr wirksame Denkmethode. Das heißt nur nicht, daß sie das Denken automatisch einfacher macht.
Die Wegstrecke s ist die Fläche unter der v-t-Kurve.
Das Bild hier veranschaulicht die Sache: https://physikunterricht-online.de/wp-content/uploads/2015/09/v-t-Diagramme.jpg
Ist die Geschwindigkeit am Anfang schon so groß wie am Ende (das heißt: wenn a = 0 ist), dann steht da keine 0,5, denn die Fläche ist ein Rechteck.
Wenn die Geschwindigkeit am Anfang = Null ist und dann mit a>0 gleichmäßig wächst, dann ist die Fläche ein Dreieck mit der halben Fläche des Rechtecks, und deshalb steht da die 0,5.
Diese 0,5 ist keine andere als eben die 0,5 aus der Ableitung des t², die Maxi170703 und LoverOfPi erklärt haben.
Hier ist noch ein Beispiel: https://technikermathe.de/wp-content/uploads/2020/01/tk-kinematik-vt-diagramm-flaeche.jpg
s(t) = 0,5 * a * t^2
ds/dt = 0,5*2 * a * t = a*t = v(t)
Daraus folgt
ds/dt = v(t)
und dv/dt = 1*a*t^0 = a
Die Ableitung der Strecke ist die Geschwindigkeit, die Ableitung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung.
Ok, besten Dank! Woher die 0,5 ganz oben herkommt - anschaulich - ist mir aber immer noch nicht klar.
Du integrierst die Formel für die Geschwindigkeit ( v = a*t) über die Zeit. Und Integral a*t dt = 0,5*a*t^2
Mathematisch verstanden - anschaulich eher nicht. Danke dennoch!
ich hatte vorhin auch noch diese Frage gestellt, vielleicht hast du ja Lust... ;--))
Besten Dank, mathematisch ok (auch wenn ich da etwas ausser Übung bin), anschaulich nicht so ganz.