Gibt es einen Trick um diese Folge analytisch zu berechnen?

Ich frage mich, ob es einen Trick gibt, diese Folge ohne Taschenrechner schnell zu berechnen? Insbesondere für n=4 & n=6 wird die binomische Formel echt unangenehm. Gibt es da eventuell einen Trick, dass zu umgehen?

Answer 1

[Schachpapa]

Laut WolframAlpha ist das cos(n pi/3).

Wiederholt sich nach 6 Werten ...

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Am nächsten Morgen:

Insbesondere für n=4 & n=6 wird die binomische Formel echt unangenehm

Wenn du bis dahin bereits x^2 und x^3 ausgerechnet hast, ist

• x^4=(x^2)^2
• x^5=x^4 × x
• x^6=(x^3)^2

Dann musst du nicht das ganze Binom durchnudeln. Und weil x^6 = 1 ist, wiederholen sich ab dann alle Werte.

Hättest also nur noch etwas durchhalten und zwei weitere Werte ausrechnen müssen.

Aber mit den von WolframAlpha und mihisu gezeigten Identitäten ist es noch einfacher.

Answer 2

[mihisu]

Man kann erkennen, dass...

$\frac{1}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\ \text{ und }\ \frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$

... ist, und dementsprechend dann...

$\frac{1+\sqrt{3}\text{i}}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+\text{i}\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$

... ist. Dann erhält man dann...

$a_n=\text{Re}\left(\left(\frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}\right)^{n}\right)=\text{Re}\left(\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)^{n}\right)=\text{Re}\left(\text{e}^{\text{i}\cdot n\cdot \frac{\pi}{3}}\right)=\cos\left(n\cdot\frac{\pi}{3}\right)$

Insbesondere ist dann beispielsweise...

$a_4=\cos(4\cdot \frac{\pi}{3})=-\frac{1}{2}$

$a_6=\cos(6\cdot \frac{\pi}{3})=\cos(2\pi)=1$

Ich weiß aber nicht, ob das jetzt für dich angenehmer ist.

Comments

[Schachpapa]

Ich weiß aber nicht, ob das jetzt für dich angenehmer ist.

Vermutlich sollte man genau das erkennen.

Answer 3

[Halbrecht]

für n = 4 :::: 

 1 4 6 4 1 

a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4

.

ungerade mit i bleiben i