Frage von Bakici, 118

Gibt es ein Dreieck mit c=10 cm, b=7cm, Beta= 45 Grad?

Bitte dazu die Vorgehensweise auch erklären, da der Kongruenzsatz Ssw nicht so sehr passt.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Mamuschkaa, 27

Ich habe es mal aufgezeichnet damit ihr seht was ich meine:

Kommentar von Bakici ,

Vielen vielen Dank! Jetzt weiß ich, was Sie meinten.

Kommentar von pedro209b ,

Eigentlich ist ihre Lösung eindeutiger erkennbar als in ihrer Zeichnung sichtbar.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 38

Da entsteht die Frage: sind die Voraussetzungen vorhanden?

Dieses Dreieck braucht man gar nicht erst anzufangen zu konstruieren.
Nach dem Sinussatz wäre 7/10 = sin 45°/ sin γ

sin γ = (10 * sin 45°) / 7 = 1,010

Ein Sinus kann nicht größer als 1 sein. Jenseits von 90° (dieser Sinus gilt als 1) gehen die Sinuswerte wieder runter. Daher ist das Dreieck nicht konstruierbar.

Kommentar von Bakici ,

Könnte man das vielleicht auch für eine Siebtklässlerin erklären? Den Sinussatz haben sie nämlich noch nicht gelernt. Vielen Dank :)

Antwort
von Mamuschkaa, 48

NEIN!
Grund:
für kleine Winkel ist es kein Problem, aber wenn 2 Seiten und der gegenüberliegende Winkel der kürzeren Seite angegeben wird, gibt es eine Obere Grenze des Winkels: Die ist genau dann erreicht wenn die Längere Seite die Hyperthinuse eines Rechtwinkligen Dreiecks ist.
c=10=Hypotenuse
b=7=gegenkathete
betta gesucht
arcsin(0.7)=44.43°
Also kann es kein Dreieck geben mit c=10,b=7
und betta>44.43°

Wenn du den Kreis zeichnest und die Schnitpunkte suchst wirst du merken das es sehr knap ist, und in diesem Fall knap daneben.

Kommentar von Bakici ,

Aber wenn man das Dreieck zeichnet, dann geht das und die Winkelsumme stimmt dann auch im Dreieck.

Kommentar von Volens ,

Eigentlich gut analysiert, - nur dass es in einem allgemeinen Dreieck weder Katheten noch eine Hypotenuse (nur 1 h im Wort!) gibt.

Kommentar von Mamuschkaa ,

Ich sage wenn es ein allgemeines gäbe mit b=7.c=10 und beta=45°
Dann gäbe es Rechtwinkliges mit beta>45°
Und dieses Rechwinklige Dreieck hat Katheten und Hypotenuse
und dieses kann es nicht geben

Kommentar von Bakici ,

Könnten Sie das vielleicht verständlicher für eine Siebtklässlerin erklären? Den Sinussatz etc. haben sie nämlich noch nicht. :)

Kommentar von Mamuschkaa ,

Ich habe nicht den Sinus satz verwendet.
Sinus satz ist:
a/sin(alpha)=b/sin(beta)
ich habe ein den Sinus über Phytagoras verwendet.
sin(alpha)=gegenkathete/Hypotenuse
Kennt ihr a²+b²=c²?
In dem Fall kannst du so Argumentieren:
1. Wie schon erwähnt wird der maximale Winkel eines beliebigen Dreiecks bei gegebenen b und c durch ein Rechtwinkliges Dreick bestimmt.
in diesem fall ist gamma=90 und wenn beta >=45 wäre.
dann wäre alpa<=beta
also ist a<=b=7 (mal es dir auf dann erkennst du sofort warum)
es gilt aber
a²+b²=c²
nun ist aber leider, da a<=b gilt
a²+b²<=b²+b²=7²+7²=98<100=10²=c²
also gilt a²+b²<c²
was ein wiederspruch ist, weil wir wissen, das es ein rechtwinkliges Dreieck geben müsste, mit beta>=45°
und dies nun kein Rechtwinkliges Dreieck ist für alle beta>=45°

Ich kann verstehen wenn du nicht auf anhieb alles verstanden hast,
In diesem Fall sage bitte genau welchen Punkt du nicht verstehst.

zb warum ich die ganze Zeit von Rechtwinkligen Dreicken Rede obwohl du ein beliebiges möchtest oder warum a<=b sein muss.
Aber denk erst mal in ruhe darüber nach und versuch es dir genau aufzumalen.

Kommentar von Bakici ,

Und man muss natürlich auch beachten, dass das Konstruieren bei der Nr.8 auf dem Bild durchaus geht.

Antwort
von rimila86, 48

Ich hab es jetzt zwar nicht ausprobiert, aber es müsste eigentlich gehen. Erst die Seite c zeichnen, den Winkel bei Punkt b antragen, beliebig lange Linie ziehen, dann um Punkt A mit dem Zirkel und der Seitenlänge von b Kreis machen, da wo Kreis und Linie sich schneiden ist Punkt C. 

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