Gibt es auf der Erde eine Rakete die bis zur Sonne fliegen könnte oder ist es wissenschaftlich nicht möglich wegen der Entfernung?

Wissenschaftlich ist fast alles möglich. Die Wissenschaft kann dir Formeln liefern, wie schnell eine Rakete sein muß und in welcher Richtung sie fliegen muß.

Die Technik entscheidet dann, wieviel Material und Treibstoff für den Flug nötig sind, und wieviel Geld man deshalb dazu braucht.

Die Politik entscheidet schließlich, ob es sich lohnt, das Geld dafür auszugeben, oder ob Anderes wichtiger ist. Das gleiche sollten auch Milliardäre tun.

Der Flug in Richtung Sonne ist weniger aufwändig als zum Mars, da die Sonne ja Anziehungskraft ausübt.

Das wäre wohl technisch weniger aufwendig als eine Marsmission. Dabei irrst Du bezüglich der Bedeutung der Enfernung. Die spielt nur eine Rolle hinsichtlich der Flugzeit bzw. Fallzeit:

Es müsste dazu nur die Fluchtgeschwindigkeit der Erde erreicht werden und dann eine hinreichende Beschleunigung entgegen der Erdbahn um die Sonne. Damit ließe sich die Fliehkraft der Erde entgegen der Sonne so weit reduzieren, dass die Rakete in einer mehr oder weniger steilen Spirale buchstäblich in die Sonne hineinfallen würde, gleichgültig, wie tief die Fallstrecke ist. Einen praktischen Sinn finde ich darin nicht.

Es stellt auch kein wissenschaftliches Problem dar, einen Stein vom Eifelturm herunter fallen zu lassen (Tu das bitte nicht!), egal wie hoch der Turm ist.

Im Prinzip ja.  Sind auch schon Sonden weiter geflogen. Helios 1+2 kamen bis auf ca. 40Mio km der Sonne nahe. Voyager 1 hat inzw. unser Sonnensystem verlassen. Und die Entfernung Erde Mars beträgt durchschnittlich 228 Mio km (1,5x Erde-Sonne), dort hin sind irgendwann Raketenflüge geplant

Technisch ist das kein so großes Problem. Es hat Raumsonden gegeben, die eine größere Entfernung zurück gelegt haben als die rd. 150 Millionen km, die die Sonne im Schnitt von der Erde entfernt ist.

Natürlich könnte eine Rakete bis zur Sonne fliegen, aber noch ehe sie sie erreicht hätte, würde diese schmelzen (Oberflächentemperatur ~ 6.000°C)

Google: Sonne