Frage von Krylium, 78

Geben sie die Gewinnfunktion an bzw bei welcher Produktmenge ist der Gewinn maximal?

Ein Unternehmen produziert Produkte mit folgenden Bedingungen:

  • Es können maximal 900 Produkte hergestellt werden
  • Die Kosten in Abhängigkeit zur produzierten Stückzahl sind wie folgt definiert:K(x) = x²+10*x+1000
  • Der Preis pro Produkt in Abhängigkeit zur produzierten Stückzahl ist wie folgt definiert: p(x) = -x²/2 + 1000 * x + 20

Folgende Fragen bereiten mir Probleme:

1.) Geben Sie die Gewinnfunktion an. 2.) Für welche Produktmenge ist der Gewinn maximal?

Durch einfaches ausprobieren bin ich darauf gekommen, dass 100 die Produktmenge ist, bei der der Gewinn maximal ist. Aber es muss doch dafür auch bestimmt eine Art Formel geben oder?

Die erste Frage kann ich leider gar nicht beantworten.

Antwort
von ELLo1997, 28

Richtig Erlös - Kosten und nicht Preis - Kosten. Das heißt eigentlich ist G(x) = p(x)*x - K(x).
Da p(x) ja der Preis für EIN Stück ist.

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 44

Der Gewinn, den du erzielst, berechnet sich aus Verkaufspreis minus Produktionskosten, also p(x)-k(x)


p(x)-k(x)=g(x)=(-0.5x²+1000x+20) - (x^2+10x+1000)

g(x)=-1.5x²+990x-980


Um die 'beste' Produktionsmenge zu bestimmen, muss g(x) ein Maximum haben. Dieses ermitteln wir. Dazu leiten wir g(x) ab, setzen g'(x) gleich 0 und begründen dann anhand des Vorfaktors von x², dass es sich dabei nur um ein Maximum handeln kann.


g'(x)=-3x+990


g'(x)=0

0=-3x+990 | +3x

3x=990 | :3

x=330


Eigentlich müssten wir nun noch die zweite Ableitung bilden und die Art des Extremums ermitteln ; da wir aber eine nach oben geöffnete Parabel haben, und diese Parabeln nur einen Hochpunkt und keinen globalen Tiefpunkt haben, muss bei x=330 ein Hochpunkt sein.



Kommentar von ELLo1997 ,

Die Gewinn ist eigentlich definiert als G(x) = K(x) - E(x)
wobei der Erlös E(X) = p(x) * x ist. Das heißt, das ganze läuft eigentlich auf eine quadratische Gleichung hinaus.

Kommentar von MeRoXas ,

Oh, das stimmt. Ich bin davon ausgegangen, dass p(x)=E(x) gilt.

Kommentar von MeRoXas ,

Zusätzliche Anmerkung meinerseits: Die Parabel ist natürlich nach unten, nicht nach oben geöffnet.

Kommentar von Volens ,

@ELLo1997:
Kosten - Erlös?

Kommentar von ELLo1997 ,

Hab zuerst auch falsch gedacht aber p(x) ist ja der Preis von einem Stück, dh. um den kompletten Erlös zu bekommen musst du den Preis von einem Stück mit der Stückzahl multiplizieren.

Kommentar von MeRoXas ,

Jap, in der Schule hatten wir immer direkt die Erlösfunktion gegeben, und keine Preisfunktion, deshalb dachte ich da gar nicht dran.

Antwort
von ELLo1997, 39

Woher weißt du denn, dass der Gewinn bei 100 maximal ist, wenn du noch keine Gewinnfunktion aufgestellt hast? Oder hast du die etwa schon?

Antwort
von Hasepueppi, 28

Die Gewinnfunktion G ist einfach der Erlös- die Kosten der Produktion. In deinem Falle also G= p(x)- K(x)

Um den Punkt zu erreichen, an dem der Gewinn maximal ist, muss du die nun entstandene Funktion nach x ableiten, Null setzen und auflösen. 

Das Ergebnis darf nicht höher als 900 sein, da du ja nicht mehr als 900 Einheiten produzieren kannst.

Dann bildest du die 2. Ableitung, setzt das Ergebnis von der 1. Ableitung ein, prüfst ob das Ergebnis negativ ist und wenn ja hast du das Gewinnmaximum. Das kannst du, falls nötig dann auch noch in die Gewinnfunktion einsetzen und weißt dann sogar, wieviel Gewinn du machst!

Das Rechnen kannst du jetzt ja mal selber ausprobieren ;) 

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