Funktionswert von cos(-2/3*pi)?
Die Aufgabe besagt das man dies ohne einen Taschenrechner berechnen soll, da ich nun ja mit dem Pythagoras Verfahren am Einheitspreis vertraut bin, funktioniert dies auch ziemlich gut, zumindest bei positiven Funktionen, da hier aber etwas negatives drinsteht weiß ich nicht wie ich damit umgehen soll, ich wäre sehr dankbar wenn es möglich wäre das es jemand erklären könnte.
3 Antworten
Die Cosinusfunktion ist eine gerade Funktion, das sind Funktionen mit
f(–x) = f(x).
Die Sinusfunktion hingegen ist eine ungerade Funktion, also eine mit
f(–x) = –f(x).
Im Allgemeinen sind Funktionen weder gerade noch ungerade, lassen sich jedoch, wenn sie auf ganz ℝ definiert sind, in einen geraden und einem ungeraden Teil aufspalten.
Die Cosinusfunktion ist außerdem antisymmetrisch zu φ=π/2, sodass
cos(2π/3) = –cos(π/3)
ist, und
cos(π/3) = sin(π/6) = ½.
Unter
http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm
findet man mehrere Lösungswege:
cos ist gespiegelte Funktion: cos(-x)=cos(x)
§1:
cos(x)=sin(x+pi/2)
cos(2Pi/3)=sin(2Pi/3+pi/2)=sin(Pi*7/6)
=-1/2 {siehe Tabelle bei 210°}
§2: cos(x)=1-2sin(x/2)²
cos(2Pi/3)=1-2sin(2/2*Pi/3)²=1-2*sin(Pi/3)² { Tabelle bei 60° }
=1-2*(sqrt(3)/2)² =1-2*3/4
=-1/2
§3: cos(x)=sgn(sin(x+Pi/2))*sqrt(1-sin(x)²)
zuerst Vorzeichen: sgn(sin(Pi*2/3+Pi/2)) =-1, da sin hier negativ, also
cos(2Pi/3)=-sqrt(1-sin(2Pi/3)²) {Tabelle bei 120°}
=-sqrt(1-(sqrt(3)/2)²)=-Wurzel(1/4)
=-1/2
weitere Wege denkbar...
Ich habe es Dir ja schon vorhin geschrieben: cos(x) = cos (-x)
Ja ich weiß, aber ich wusste nicht das man dies auch hier bei einer negativen Cosinus Funktion anwenden kann, verstehe ich das aber richtig das ich diese Überprüfung der Achsensymmetrie genauso wie bei rationalen Funktionen anwenden kann indem ich jetzt hier dann dasselbe dastehen hätte nur ohne Minuszeichen?
Ja. Ob eine Funktion rational ist oder nicht, ist unerheblich. Entscheidend ist, dass sie sowohl für positive als auch für negative x definiert und gerade ist.
Beim Sinus müsstest Du nur anschließend das Vorzeichen umkehren, da der Sinus eine ungerade Funktion ist.