Funktionsgleichung anhand von Extremstellen bestimmen?
Moin,
habe leider mal wieder ein Problem mit den Mathematik Hausaufgaben. Ich habe 3 Extrempunkte gegeben: T(−3|−2)H(−1|14)T(1|2)
Nun soll ich den Funktionsterm bestimmen. Ich weiß das die erste Ableitung der Funktion 3 mal 0 sein muss, demnach muss die Funktion 4 Grades sein. ( Hat der Lehrer uns auch so vorgesagt)
Also: ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
Wie die Ableitungen gehen weiß ich auch, würde jetzt zu lange dauern die hinzuschreiben.
Kann mir irgendwer helfen ich hab irgendwie keine Ahnung wie ich jetzt vorgehen soll. Ich weiß das aus der Information mit den 3 Extrempunkten die Funktionen :
f′(−3)=0
f′(−1)=0
f′(1)=0
hervorgehen.
Nun bin ich mit meinem Latein am Ende, ich bedanke mich schon mal im vor raus für die Hilfe!
3 Antworten
3 Extrempunkte (wo die erste Ableitung = 0 ist), sind gegeben.
Also gilt
f'(x) = Faktor*(x + 3)*(x - 1)*(x + 1)
denn nur dieses "Ding" hat die nötigen Nullstellen. Damit sollte man weiterkommen, die Punkte in die Funktionsgleichung einsetzen kommt danach noch hinzu.
Wieso nicht? Wenn
f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e ist, und damit
f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d gilt, und dieses laut obigem Ansatz (mit "Faktor = k und dann ausmultipliziert)
f'(x) = kx^3 + 3kx^2 - kx - 3k gilt, dann gibt das durch das Vergleichen ein paar schnuckelige Zusammenhänge, nämlich
4a = k und
3b = 3k und
2c = -k und
d = -3k
Ist doch niedlich (und komfortabel), wenn von den ursprünglich 5 Unbekannten (a, b, c, d und e) durch das Hinzufügen einer weiteren (k) nur noch zwei werden, nämlich k und e. Drei gegeben Punkte sind noch da, und nur noch 2 Unbekannte - sollte kein Problem mehr sein.
Du hast eine Funktion 4.Grades, benötigst also dem entsprechend auch 5 Bedingungen. Du schon drei gefunden, fehlen noch zwei. Welche Bedingung muss gelten, wenn f ein TP oder HP haben soll, außer das die Ableitung = 0 ist?
Das die Funktion beispielsweise an der Stelle f(-3)= -2 ist
Wie die Ableitungen gehen weiß ich auch, würde jetzt zu lange dauern die hinzuschreiben.
Quatsch, dauert doch nicht länger, als f(x) selbst hinzuschreiben!
Du hast noch viel mehr Informationen:
f(-3) = -2
f(-1)=14
f(1) = 2
Die Punkte in die Funktion (bzw in die Ableitung) einsetzen, Gleichungsystm lösen, fertig.
Aber wie kann ich denn ein Gleichungssystem mit 5 Gleichungen lösen? Mein Taschenrechner macht nicht mehr als 4 mit.
Außerdem hätten dann ja einige Gleichungen 4 Unbekannte und die Anderen 5
Hmm... ich verstehe irgendwie nicht so ganz wie ich damit weiter verfahren soll