Fourierreihe integral auflösen?

Hi wie komme ich vom blau markierten auf die untere Zeile, also wie löst man das integral auf, kann mir das jemand vorrechnen

Answer 1

[RitterToby08]

Es gilt (per Definition):

$T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}$ Wenn wir das nun einsetzen, erhalten wir:

$\frac{2A}{T_0}\left[\frac{-1}{n\omega_0}\cos\left(n\omega_0t\right)\right]_0^{^{\frac{T_0}{2}}}=\frac{-2A\omega_0}{2\pi n\omega_0}\left[\cos\left(\frac{2n\omega_o\pi}{2\omega_0}\right)-\cos\left(0\right)\right)=\frac{-A}{n\pi}\left[\cos\left(n\pi\right)-\cos\left(0\right)\right]$

Answer 2

[ProfFrink]

Nicht von t abhänigige Faktoren dürfen vor die Klammer gezogen werden.

$\frac{-2A}{T_0\cdot n\cdot\omega_0}\cdot\left[\cos\left(n\omega_0t\right)\right]_{_0}^{^{\frac{T_0}{2}}}$ Nun wird eine Beziehung zwischen der Periode T_0 und der Kreisfrequenz omega_0 ausgenutzt.

$\omega_0=2\pi f=\frac{2\pi}{T_0}$ Damit wird ein Ausdruck generiert, der nur noch Perioden und keine Frequenzen mehr enthält.

$\frac{-2A}{T_0\cdot n\cdot\frac{2\pi}{T_0}}\cdot\left[\cos\left(n\cdot\frac{2\pi}{T_0}t\right)\right]_{_{_{_0}}}^{^{\frac{T_0}{2}}}=\frac{-A}{n\pi}\cdot\left[\cos\left(n\cdot\frac{2\pi}{T_0}\cdot\frac{T_0}{2}\right)-\cos\left(0\right)\right]$ Bei der oberen Umformung wurde im Vorfaktor die "2" und das T_0 gekürzt. Die Cosinusargumente wurden bereits mit den Grenzen besetzt. Im nächsten Schritt kann das Cosinusargument auch zusammengekürzt werden. Wieder wird die 2 und das T_0 angegriffen. Es verbleibt.

$\frac{-A}{n\pi}\cdot\left[\cos\left(n\pi\right)-1\right]$ Damit wäre Deine Frage erschöpfende beantwortet. Doch es geht noch weiter.

Mit cos(n*pi) werden die Spezialwerte +1 und -1 addressiert. Darum ist folgende Ersetzung erlaubt.

$-\frac{A}{n\pi}\cdot\left[\left(-1\right)^n\ -1\right]$ Und wer mit negativen Vorzeichen sparen will, darf auch schreiben:

$\frac{A}{n\pi}\cdot\left[1-\left(-1\right)^n\right]$ Für Deine Fourierreihe bedeutet das, dass alle Koeffizienten mit geraden Zählern n verschwinden. Und alle Koffizienten mit ungeraden Zähler nehmen den Wert 1- (-1) = 2 an. Ganz zum Schluss verbleibt

$\frac{2A}{n\pi}$

für alle ungeraden Koeffizienten und 0 für alle geraden.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung