Folgen, Reihen? Rekursionsformel? Mathe Hilfe?
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich probiere schon alles seit einer Stunde, aber ich verstehe es einfach nicht. Wäre um jede Hilfe sehr dankbar!
4 Antworten
Die Antworten von Willy und hairybear sind schon top.
Nur was zum Nachdenken:
a) Wenn pro Zeiteinheit (hier Stunde) ein gewisser Anteil (aber nicht alles, hier 20 %) verschwindet, dann bleibt ja immer noch der andere Anteil (hier 80 %). Auf gut Deutsch, da immer etwas bleibt, verschwindet es nie ganz (nur theoretisch, irgendwann wird die Menge zu klein, um sich nochmals anteilig zu reduzieren). Demnach kann der lineare Abbaugraphen nicht richtig sein, denn er schneidet die X-Achse, richtig ist hingegen ein Graph, der sich immer mehr der X-Achse annähert.
Weiterhin bedeutet der prozentuale Abbau im Vergleich zum Vorzustand, dass die Abbaumenge sich reduziert, da die Basis (der jeweilige Vorzustand) sich auch reduziert. Gleich bleibt nur das Verhältnis Abbaumenge/(Menge im Vorzustand), also (0,2 * a(n)) / a(n) --> a(n) kann man kürzen, es bleibt das Abbauverhältnis 0,2 = 20 %. Demnach ist der gekrümmte Graph richtig, weil sich die absolute Abbaumenge immer reduziert, die negative Steigung sich immer mehr der Null annähert.
b) Am Anfang hast Du 400, dann werden 20 % abgebaut --> 400 - 0,2*400 = 400 * (1-0,2) = 400 *0,8 = 320. Dann werden von 320 20 % abgebaut = 320 * 0,8 =256. Als immer vorhandene Menge (Vorzustand) * 0,8 = neuer Zustand.
c) explizit Zustand a(m+1) = a(m) * 0,8
Zustand a(m+2) = a(m+1)*0,8 = (a(m)*0,8)*0,8) = a(m)*0,8*0,8 = a(m)*0,8^2 (^=hoch)
Zustand a(m+e) = a(m) * 0,8^e.
Wenn Du mit m+e = n startest, dann gilt e = n-m, also a(n) = a(m) * 0,8^(n-m). Jetzt ist m der Startwert mit 1, also a(n) = a(1) * 0,8^(n-1) mit a(1) = 400. Da es nur abwärtsgeht, ist n mindestens 1, ansonsten hätten wir 0,8^(-1), dass wäre kein Abbau, sondern Aufbau!
Probe: a(1+2) = a(3) = a(1) *0,8^(2) = 400 *0,8^2=256 --> passt!
Induktiv: Explizit gilt (siehe oben) a(m+e) = a(m) *0,8^e = a(m) * (1-0,2)^e = a(m) * 1 - a(m) * 0,2^e = a(m) - 0,2^e * a(m). m+e soll wieder n sein, daher m+e=n und m=n-e,
also a(n) = a(n-e) - 0,2^e *a(n-e). Und jetzt in Einerschritten, also e=1 somit
a(n) = a(n-1) - 0,2^1 * a(n-1) = a(n-1) - 0,2 * a(n-1)
d) Hälfte: a(1+m) = 200 = a(1) / 2 = 400/2 = a(1)*0,8^m --> da a(4) = 204,8, muss es irgendwo bei 4,ungerade sein. Da es mit 1 anfängt, also 4,ung. - 1 = 3,ung!!!!
a(1)*0,8^m =a(1) /2 | :a(1)
0,8^m = 1/2 | ln
ln (0,8^m) = ln 0,5
m * ln 0,8 = ln 0,5
m = ln 0,5 / ln 0,8 = 3,106284 --> passt!
Da mehr als die Hälfte, wenn Zeit > 3,106284
e) 24 Stunden: Easy! a(1+24) = 400 * 0,8^24 = 1,88947 --> ganz wenig
--> Wie man sieht, kann die Gerade als rechter Graph nicht stimmen, die hätte längst die X-Achse berührt, obwohl nicht Null erreicht wird
Hallo,
es geht darum, festzustellen, wie der Abbau des Medikaments als Funktion abhängig von der Zeit dargestellt werden kann.
Bei den beiden Graphen handelt es sich bei dem rechten um den Graph einer linearen Funktion, also einer Geraden.
Er würde auf einen Abbauprozeß zutreffen, bei dem in gleichen Zeiteinheiten gleiche Mengen des Medikaments abgebaut werden. Beim rechten Graphen würden dafür etwa 10 Stunden benötigt, wobei es pro Stunden 400/10=40 mg weniger wären.
Das deckt sich aber nicht mit den Angaben, die nicht auf einen linearen Abbau schließen lassen, sondern auf einen prozentualen.
Pro Stunde werden 20 % des Mittels abgebaut.
In der ersten Stunde also 400/5=80 mg, in der zweiten 320/5=64 mg, denn nach einer Stunde sind nur noch 320 mg vorhanden - und ein Fünftel (20 %) von 320 ist natürlich weniger als ein Fünftel von 400.
Du erwartest also eine Kurve, bei der der Abbau zu Beginn hoch ist, dann aber immer weniger wird, also eine flacher werdende Kurve. Genau die siehst Du auf dem linken Bild.
Nach einer Stunde sind 20 % abgebaut, also noch 80 % übrig von den 400 mg.
Du rechnest also
400*0,8=320
Nach zwei Stunden sind von diesen 320 mg noch 80 % vorhanden: 320*0,8
Da 320=400*0,8, hast Du nach zwei Stunden 400*0,8*0,8 oder 400*0,8^2.
Nach drei Stunden hast Du von diesem Ergebnis wieder nur noch 80 %, also
400*0,8^2*0,8=400*0,8^3.
Allgemein muß die Funktion also lauten:
f(t)=400*0,8^t, wobei t die Zeit in Stunden ist.
In diese Gleichung kannst Du direkt die Zeit eingeben, die seit der Injektion verstrichen ist und bekommst sofort den Restbestand.
Bei der vorliegenden Aufgabe wird der Zeitpunkt der Injektion wohl mit t=1 bezeichnet, so daß t=2 der Bestand nach einer Stunde ist.
Daher lautet die Gleichung f(t)=400*0,8^(t-1).
Das ist die explizite Gleichung.
Die Rekursivformel sagt Dir, wie Du von einem Zeitpunkt zum nächsten kommst, wenn Du für t nur ganze Zahlen einsetzt und der Bestand zum Zeitpunkt t0 bekannt ist.
Dann ist der Bestand eine Stunde nach t0:
f(t1)=f(t0)*0,8, denn nach Ablauf jeder weiteren Stunde sind immer nur noch 80% des Bestands eine Stunde vorher vorhanden.
Anstatt t steht in der Aufgabe n, wohl um zu verdeutlichen, daß nur natürliche Zahlen eingesetzt werden sollen, also Zeiträume wie eine Stunde, zwei Stunden usw. und nicht irgendwelche Zwischenwerte wie 23 Minuten, 5 Sekunden oder so etwas.
Herzliche Grüße,
Willy
Was genau kannst du denn nicht?
a)
ist ja einfach. Linear ist natürlich quatsch.
b)
Stellen wir einfach eine Formel auf
Formel für Abbau:
X(n) = 400*(1-0.2)^(n-1) | n ∈ N // (n-1) weil komisch gezählt wird
Die Tabelle sollte daraus leicht zu berechnen sein (400, 320, 256, ...)
c)
Die explizite Formel ist ja grade unsere Formel. Also müssen wir nur noch zeigen, dass die rekursive Formel zur expliziten gehört.
Das machen wir durch Induktion:
a(n) = 400 * 0.8^(n-1) für n ∈ N
a(1) = 400, a(n) = a(n-1) - 0.2 * a(n-1) für n ∈ N
Induktionsanfang:
n = 1 : 400 * 0.8^0 = 400 = 400
Gilt für ein n ∈ N
Induktionsvoraussetzung
n > 1 : a(n+1) = a(n) - 0.2*a(n)
= 400*0.8^(n-1) - 0.2*400*0.8^(n-1)
= 400*0.8^(n-1) * 0.8
= 400*0.8^(n)
Also stimmt.
siehe Mathe-Formelbuch "Exponetialfunktion" f(x)=a^x
Durchläuft das Argument "x" eine "arithmetische Folge",si durchläuft der Funktionswert f(x) eine "geometrische Folge"
taucht in der Form auf y=f(x)=No*a^x oder f(x)=No*e^(c*t)
a>1 "exponentielle Zunahme"
a<0 "exponetielle Abnahme"
c>0 "exponetielle Zunahme"
c<0 "exponentielle Abnahme"
hier No=400mg
N1=No-No/100%*20%=No*(1-0,2)=No*0,8
a=1-0,2=0,8
gesuchte Formel N(t)=400mg*0,8^t hier die Zeit t in Stunden
Halwertszeit N(T)=No*a^T mit N(T)=No/2
No/2=No*a^T
1/2=a^T logarithmiert
ln(0,5=ln(0,8^T)=T*ln(0,8)
T=ln(0,5)/ln(0,8)=3,106.. Stunden
Probe 0,8^3,106=0,5 stimmt also
Den Rest schaffst du selber.