Extrempunkte von f berechnen?
Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:
f(x)= -0,5x^4 + 2x³ - 2x²
Ich muss rechnerisch alle Extrempunkte berechnen.
Mein Lösungsanfang:
f'(x) = -2x³ + 6x² - 4x
notw. Bedingung : f'(x) =0 --> -2x³ + 6x² - 4x = 0
????
4 Antworten
f(x)= - (1 / 2) * x ^ 4 + 2 * x ^ 3 - 2 * x ^ 2
f´(x) = - 2 * x ^ 3 + 6 * x ^ 2 - 4 * x
Nullstellen von f´(x) berechnen :
- 2 * x ^ 3 + 6 * x ^ 2 - 4 * x = 0
Ein x ausklammern :
x * (-2 * x ^ 2 + 6 * x - 4) = 0
Wegen dem Satz vom Nullprodukt liegt die erste Nullstelle bei x _ 1 = 0
Nun die Nullstellen von -2 * x ^ 2 + 6 * x - 4 bestimmen :
-2 * x ^ 2 + 6 * x - 4 = 0 | : (-2)
x ^ 2 - 3 * x + 2 = 0
Mit der pq-Formel erhält man :
x _ 2 = 1
x _ 3 = 2
Nun die zweite Ableitung bilden :
f´´(x) = - 6 * x ^ 2 + 12 * x - 4
Nun die oben gefundenen Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen :
f´´(0) = -4
f´´(1) = 2
f´´(2) = -4
Dort wo der Funktionswert der zweiten Ableitung < 0 ist, liegt ein Maximum (Hochpunkt) und wo der Funktionswert der zweiten Ableitung > 0 ist, liegt ein Minimum (Tiefpunkt), dort wo der Funktionswert der zweiten Ableitung = 0 ist, liegt weder ein Maximum, noch ein Minimum vor.
f´´(0) = -4 (Maximum)
f´´(1) = 2 (Minimum)
f´´(2) = -4 (Maximum)
Damit hast du aber die Punkte noch nicht, deshalb die oben gefundenen Nullstellen noch in die Originalfunktion einsetzen :
f(0) = 0
f(1) = - 1 / 2
f(2) = 0
Fazit :
Punkt (0 | 0) (Maximum)
Punkt (1 | - 1 / 2) (Minimum)
Punkt (2 | 0) (Maximum)
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x) = 0, also dass die erste Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle hat.
Damit die Bedingung hinreichend ist, muss zusätzlich noch gelten, dass f''(x) ≠ 0, also dass die zweite Ableitung an dieser Stelle keine Nullstelle hat (sonst könnte es bspw. auch ein Sattelpunkt sein).
Es gilt f(x) = -0,5x⁴ + 2x³ - 2x² und f'(x) = -2x³ + 6x² - 4x.
Zu überprüfen ist f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 (an der zuvor berechneten Stelle):
0 = -2x³ + 6x² - 4x
0 = x(-2x² + 6x - 4)
Mit dem Satz des Nullprodukts (und pq-/abc-Formel) folgt:
x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2
Die Nullstellen der ersten Ableitung (und somit auch die potenziellen Extremstellen der Ausgangsfunktion) liegen also bei x = 0, x = 1 und x = 2.
Jetzt leiten wir ein weiteres Mal ab, um die zweite Ableitung um die ständige Ungleichheit von Null zu überprüfen:
f''(x) = -6x² + 12x - 4
f''(0) = -6⋅0² + 12⋅0 - 4 = -4
f''(1) = -6⋅1² + 12⋅1 - 4 = -2
f''(2) = -6⋅2² + 12⋅2 - 4 = -4
Damit gilt zusammengefasst f''(0) ≠ 0, f''(1) ≠ 0 und f''(2) ≠ 0 und somit liegen an diesen Stellen Extrempunkte von f.
Um noch die Art der Extrempunkte zu bestimmen, müsste man überprüfen, ob f'' an dieser Stelle <0 oder >0 ist, in ersterem Fall wäre ein Maxima vorhanden, in letzterem Fall ein Minima.
Die hinreichende Bedingung f'(x) = 0 ∧ f''(x) ≠ 0 ist erfüllt.
LG Willibergi
Ableiten und gleich 0 setzen für die Bestimmung der Extrempunkte.
Beim ersten Ausdruck auf der rechten Seite von f'(x) fehlt das x.
Zuerst berechnest du die Ableitung nochmal richtig und dann klammerst du x aus. Dann ist das auch ganz easy.