Krümmungsverhalten rechnerisch bestimmen?
Habe ich die Aufgabe richtig gelöst?
a) f(x)= -x^2 + 2x +4
f’(x)= -2x + 2
f”(x) = -2 < 0
der graph ist nach rechtsgekrümmt.
b) f(x) = x^3 - x
f’(x) = 3x^2 -1
f”(x) = 6x
Bei b komme ich jetzt nicht weiter
2 Antworten
Passt soweit. Jetzt musst du dir überlegen, wann 6x < 0 und wann 6x > 0 gilt. In den jeweiligen Bereichen ist der Graph dann rechts-/ bzw. linksgekrümmt.
Exakt. Das heißt, für x < 0 ist f ''(x) < 0. Das bedeutet dort ist der Graph rechtsgekrümmt.
Kannst du mir ausrechnen, wo der Graph linksgekrümmt ist?
Ist das eine Frage?
Just kidding, x > 0 ist richtig ;)
Das heißt, für x < 0 ist der Graph rechtsgekrümmt und für x > 0 linksgekrümmt. Das können wir uns hier auch mal im Schaubild angucken, die Krümmung schwenkt bei x = 0 tatsächlich um ;)
b)
- f(x)=x³–x
- f'(x)=3x²–1
- f"(x)=6x
Soweit richtig.
Die erste Ableitung gibt bekanntlich ja die Steigung der Ausgangsfunktion an.
Die zweite Ableitung dann logischer Weise die Steigung der ersten Ableitung. Das heißt nichts weiter, als dass die zweite Ableitung die Änderungsrate der Steigung der Ausgangsfunktion angibt.
Anders gesagt: Die zweite Ableitung gibt an, ob die Steigungen der Tagenten der Ausgangsfunktion zunhemen oder abnhemen.
Folglich gibt es eine Stelle, an der die Tagenten von zunehmend wachsender Steigung zu zunehmend abfallender Steigung wechseln - das ist der Wendepunkt der Ausgangsfunktion.
An der obigen Grafik wird hoffentlich deutlich, dass wenn die zweite Ableitung negative Werte annimmt, die Steigungen der Tangenten zunehmend abnhemen und wenn die zweite Ableitung positiv ist, die Steigungen der Tangenten zunhemend zunehmen. An der Stelle, wo die zweite Ableitung gleich Null ist, ist dann die Stelle, wo die Tangente weder zunimmt noch abnimmt, da sich dort die Steigungsänderung der Tangenten ändert - das ist in der Ausgangsfunktion dann der Wendepunkt.
Wenn also links vom Wendepunkt die zweite Ableitung negativ ist und rechts vom Wendepunkt positiv, dann verläuft der Graph (wie im Beispiel der Grafik) zuerst rechtskurvig, dann linkskurvig - also ein "Rechts-Links-Verlauf". Andernfalls, also wenn rechts vom Wendepunkt die zweite Ableitung positiv und links vom Wendepunkt negativ ist, verläuft der Graph der Ausgangsfunktion erst linkskurvig, dann rechtskurvig - also ein "Links-Rechts-Verlauf".
Man nennt das auch das Vorzeichenwechselkriterium (Das Herausfinden des Kurvenverlaufs der Funktion mitteln Betrachtung der positven/negativen Werte der zweiten Ableitung.).
Schauen wir uns noch einmal Deine Aufgabe an. die zweite Ableitung ist f"(x)=6x.
Ersteinmal berechnen wir den Wendepunkt - also dort, wo die zweite Ableitung gleich Null ist: f"(x)=0 <=> 6x=0 <=> x=0
Um herauszufinden, ob es ein Rechts-Links-Verlauf oder Links-Rechts-Verlauf ist, müssen wir das Vorzeichenwechselkriterium anwenden.
Links vom Wendepunkt, z.B. bei x=–1, erhalten wir nach Einsetzen in die zweite Ableitung negative Werte, rechts vom Wendepunkt positive - wir haben es also mit einem Rechts-Links-Verlauf zu tun.
Dies lässt sich leicht mit folgender Grafik überprüfen:
Eine Anmerkung noch: Man darf beim Vorzeichenwechselkriterium nur Werte in die zweite Ableitung einsetzen, wenn diese sich zwischen zwei Wendepunkten befinden. Wenn es auf der einen Seite eines Wendepunkten keinen weiteren mehr gibt oder es überhaupt nur einen gibt, dann ist es egal, welche Stellen man wählt (wie bei Deiner Aufgabe - gibt ja nur einen Wendepunkt).
Ich hoffe, ich konnte helfen :)
Danke… aber ich komme nicht weiter. Können Sie mir weiterhelfen