Extrempunkte berechnen. Warum berechnet man die so?
Hallo wir haben gestern in Mathe die Berechnung der Extrempunkte gemach. Da muss man ja grundsätzlich zwei Bedingungen erfüllen. Einmal die notwendige Bedingung f'(x) =0 und die zweite bedingung: einsetzten von x in f''(x). Bei der ersten Bedingung bekommt man ja den x wer des Tief bzw Hochpunkt heraus und bei der 2.Bedingund findet man heraus ob es ein tiefpunkt beziehungsweise hochpunkt ist. Meine Frage ist, warum man das macht. Also ich kann das iwie nicht genau nachvollziehen was dann grafisch passiert wenn wir das machen also ich meine kann mir jemand die Herleitung zu diesen Bedingungen erklären? Das interessiert mich grad mega.
Danke im voraus!
6 Antworten
Es ist eigentlich ganz einfach.
Wenn du eine Funktion hast, dann ist die erste Ableitung der Funktion die Steigung. Wenn die Steigung 0 ist gibt es halt keine Steigung und man ist entweder auf einer Anhöhe oder einem Tal gelandet.
Man weiss aber ersteinmal nicht, ob man im Tal oder auf einer Anhöhe gelandet ist, denn beides könnte der Fall sein.
Deshalb braucht man die Steigung der Steigung, also die 2. Ableitung. Die sagt einem ob es vorher "hoch" und nachher "runter" geht (Anhöhe) oder vorher "runter" und danach "hoch" geht (Tal).
Wenn die Steigung (2. Ableitung) der 1. Ableitung als vorher runtergegangen ist, also negativ war, muss man im Tal gelandet sein, als ein lokales Minimum haben, ansonsten hat man ein lokales Maximum.
Betrachtet wird die Funktion f mit :
Es gilt :
Ohne auf die exakte Monotonie einzugehen, fällt f zuerst bis zum Tiefpunkt und steigt dann wieder.
Da f' die Ableitung von f zeigt, verläuft f' bis zu x = 0 unterhalb der X-Achse, weil die Steigung negativ ist. Nach x = 0 verläuft wieder f' oberhalb der X-Achse.
Betrachtet man jetzt f'', so ist es ja klar das die Funktion nur positive Werte annimmt (verläuft oberhalb der X-Achse). Und für f'' gilt somit : f''(x) > 0 => TP
"Bei der ersten Bedingung bekommt man ja den x wer des Tief bzw Hochpunkt heraus und bei der 2.Beding den y Wert."
Nein. Nochmal :
Gilt f'(x) = 0, so liefert dir diese "Gleichung" alle Stellen mit einer waagrechten Tangente. Es ist aber nicht immer ein Extrema nur weil f'(x) = 0 gilt.
Die zweite Ableitung benötigst du zur Unterscheidung, ob es sich um deine Stelle um ein Extremum( TP oder HP) oder sogar Sattelpunkt handelt.
Den Funktionswert(y-Wert) bekommst du nicht über zweite Ableitung heraus, sondern über f.
Die erste Ableitung muss 0 sein, da in einem Hochpunkt die Steigung wechselt von "steigend" (positiv) auf "fallend" (negativ). Die Ableitung geht also von positiv auf negativ, sprich: sie geht genau da durch 0 (sonst kommt man von positiv nicht auf negativ) (Bei einem Tiefpunkt sind hier "positiv" und "negativ" zu vertauschen, ansonsten gleiche Begründung)
Also: wir haben 1. Ableitung = 0
Nun müssen wir noch feststellen (wie oben beschreiben): geht die Ableitung in dem Punkt von positiv nach negativ (Hochpunkt) oder von negativ nach positiv (Tiefpunkt). Wir brauchen also die Steigung der ersten Ableitung, das ist die zweite Ableitung. die ist negativ, wenn die erste Ableitung von positiv nach negativ geht (sie geht ja von "oben" nach "unten") ist die zweite Ableitung negativ (Hochpunkt). Bei einem Tiefpunkt ist es umgekehrt.
Halbwegs klar?
Hier zur Ansicht: blau f(x); rot 1. Ableitung
Das stimmt so nicht ganz. Durch die zweite Bedingung erhält man nicht den y wert. Man erhält eine Information darüber, ob ein hoch oder Tiefpunkt vorliegt: f''>0 Tiefpunkt
f''<0 hochpunkt
Die zweite Ableitung gibt nämlich das Krümmungsverhalten von f an. f''>0 bedeutet Linkskurve=> es muss also ein Tiefpunkt sein
Ja man bin ich dumm😂hatte das iwie falsch im Kopf aber hab noch a nachgeschaut und ist ja eig logisch
die ableitung ist die steigung und die ist bei einem extrema gleich 0. und die zweite ableitung darf kein extrema haben, weil es sonst ein sattelpunkt wäre
Das stimmt auch nicht so ganz: auch wenn das hier zu weit führt: f' (nicht f'')darf an dieser Stelle kein extremum haben. Das würde nämlich einen Wendepunkt darstellen, mit waagerechter Tangente=> sattelpunkt.
Was du wahrscheinlich ausdrücken wolltest: f'' darf nicht 0 sein. Auch das darf der Fall sein, wenn ein Vorzeichenwechsel von f' rund um den x-wert stattfindet
Aber das ist doch auch der. Wert oder