Extrema Funktionenschar?
Die funktion lautet f(x)= (4 - a/2) * x + (1/4 - 2/a) * x^2
Ich verstehe nicht was die ableitung hier ist.
3 Antworten
Sei die Funktion f gegeben zu
f(x,a) = (4 - a/2) * x + (1/4 - 2/a) * x^2
mit Variable x aus IR und Parameter a aus IR. Die erste Ableitung nach x lautet damit
f'(x,a) = (4-a/2) + 2*(1/4 - 2/a) * x
und die zweite Ableitung folgt zu
f"(x,a) = 2*(1/4 - 2/a) .
Für die Berechnung der Ableitung nach der Variablen x verhält sich der Parameter a wie eine Konstante. Die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum liefert
f'(x,a) = 0 = (4-a/2) + 2*(1/4 - 2/a) * x
und damit die kritische Stelle in Abhängigkeit des Parameters a
x(a) = (-2)*(1/4 - 2/a)/(4-a/2).
Für die Bestimmung ob es sich bei f(x(a),a) um ein lokales Minimum oder Maximum handelt ist schließlich das Vorzeichen von
f"(x(a),a)
in Abhängigkeit von a zu untersuchen.
Und wie hast du es nach x umgehört wenn du es gleich 0 gesetzt hast? Verstehe das nicht
Vor x² steht ein Faktor und vor x steht ein anderer. Ableiten wie immer:
Wenn man will, kann man noch ein wenig umformen:
Edit: f'(x) = 0
==> a=x
Die Extremstelle ist bei x=a
https://www.geogebra.org/classic/ybv7qtbc
Da solltest du a zwischen -5 und 15 verschieben können.
Interessant ist, dass es für 0 < a < 8 ein Maximum und sonst ein Minimum ist.
Genau. Ich habe ja die Faktoren bereits zu Brüchen umgeformt, so dass man einfach mit dem Kehrwert malnehmen kann. In Kommentaren zu Antworten geht leider der Funktionseditor nicht, ich ergänze daher meine Antwort oben.
Ja, da fehlt das x. Die erste Ableitung ist eine Gerade und die 2. Ableitung ist ihre Steigung. Für ein gegebenes a ist das ein Konstante.
beide Klammern kann man wie Zahlen behandeln. a steht ja auch nur für eine Zahl
f(y) = x + x² abgeleitet wäre 1 + 2x
hier kommen hinter die 1 und die 2x eben die Klammern
Und wie berechne ich dann die Nullstellen? Indem ich die hinteren klammer auf die andere seite bringe und dann durch 2*(1/4 - 2/a) teile?