Europabrücke 2004?
Die Europabrücke bei Innsbruck war bis 2004 die höchste Brücke Europas. Von der Brücke geht es bis zum Fluss Sill 190 m in die Tiefe. Die ersten drei Sekunden eines Bungee-Sprungs von der Europabrücke verlaufen im freien Fall. Diese Bewegung wird durch die Funktion s mit s(t) = 4,905 t^2 (t≥ 0 in Sekunden, s (t) in Meter) beschrieben.
a)Welche Strecke legt ein Springer während dieser Zeit zurück?
b)Welche Geschwindigkeit erreicht er nach 1, 2 bzw. 3 Sekunden?
C)Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit während diese Phase?
1 Antwort
Damit können wir doch weiterüberlegen :)
Am Anfang der Aufgabenstellung stehen einige Informationen die für die Berechnung nicht wichtig sind. Die ersten wichtigen Angaben sind:
190 m in die Tiefe, drei Sekunden freier Fall
Der freie Fall wird durch folgende Funktion beschrieben:
Also bekommt die Funktion eine Sekundenangabe und gibt dann aus, wie viele Meter der Bungee-Springer in diesen Sekunden gefallen ist.
In Teil a) ist nun also eine Meter-Angabe (nämlich die Strecke) gesucht. Die Zeit, die hier erwähnt wird, finden wir im Text.
Hast du jetzt eine Idee, wie wir Teil a) lösen können?
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In Teil b) wird nun nach einer Geschwindigkeit gefragt. Gegeben haben wir bisher eine Funktion, die die Strecke (in Abhängigkeit von der Zeit) angibt.
Geschwindigkeit ist nichts anderes als die Änderung der Strecke zu jeder Zeit.
Was könnten wir dann hier berechnen?
Antwort: Wir berechnen die Ableitung!
Die Ableitung gibt also die Geschwindigkeit (in m/s) zu jedem Zeitpunkt t (in s) an.
Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu erhalten, müssen wir den Zeitpunkt also in s'(t) einsetzen. Wir erhalten eine Geschwindigkeitsangabe mit der Einheit m/s, also Meter pro Sekunde.
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In Teil c) suchen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit in d "dieser Phase" (damit ist die Phase zwischen 0 und 3 Sekunden gemeint).
Dafür kann uns eine Skizze helfen: Zeichne die Funktion s'(t) in ein kleines Schaubild? Was fällt dir auf? Wie könnten wir hier die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen?
(Stichwort: durchschnittliche Änderungsrate vielleicht kennst du dazu ja schon eine Formel)
Die Formel für die durchschnittliche Änderungsrate ist:
wobei f jetzt die ursprüngliche Funktion ist (also s(t) !) und a der Anfangszeitpunkt ist (also t = 0) und b der Endzeitpunkt der gesuchten Phase (also t = 3).
Sehr gut :)
Wir können also einen Antwortsatz schreiben:
Der Springer legt in dieser Zeit eine Strecke von 44,145 Metern zurück.
Bei b soll man dann 190 als s(t) einsetzen, um die Geschwindigkeit zu bekommen?
Die Funktion s(t) hat erst mal noch nichts mit einer Geschwindigkeit zu tun, sondern nur mit Strecke und Zeit. Geschwindigkeit ist aber die momentane Änderungsrate der Strecke. Bei diesem Begriff könnte etwas bei dir klingeln.
Wenn wir die Änderungsrate suchen, dann berechnen wir die ... ?
Eine Strecke hat ja keine Geschwindigkeit.
Wir können aber die Ableitung s'(t) der Funktion s(t) berechnen, die gibt ja an, wie stark sich die Funktion s(t) zu jedem Zeitpunkt ändert, also wie hoch die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt ist.
Wir merken uns also: (momentane) Änderungsrate oder Änderung = Ableitung berechnen
und
Geschwindigkeit ist die Ableitung der Strecke (zu jedem Zeitpunkt t)
genau, das ist also eine Funktion, die jetzt die Geschwindigkeit (in m/s, also Meter pro Sekunde) für einen bestimmten Zeitpunkt (in Sekunden angibt).
Wie berechnen wir also die Geschwindigkeit nach 1, 2, bzw 3 Sekunden?
Korrekt :) Wir berechnen also s'(1), s'(2) und s'(3). Welche Werte erhalten wir denn da? Und wie könnte hier ein Antwortsatz (mit den richtigen Einheiten!) lauten?
Sehr gut!
Wir können also als möglichen Antwortsatz schreiben:
Der Springer erreicht nach einer Sekunde die Geschwindigkeit 9,81 Meter pro Sekunde, nach zwei Sekunden die Geschwindigkeit 19,62 Meter pro Sekunde und nach drei Sekunden die Geschwindigkeit 29,43 Meter pro Sekunde.
Die Idee ist schon mal gut!
Wenn wir aber nur den Durchschnitt der Geschwindigkeiten bei t = 1, 2 und 3 Sekunden berechnen, dann fehlt uns ja die Phase zwischen null und einer Sekunde.
Was wir also machen können, ist den Durchschnitt der Geschwindigkeiten bei t = 0, 1, 2 und 3 zu berechnen.
Alternativ gibt es eine eigene Formel für die durchschnittliche Änderungsrate, die ergänze ich gleich oben im Hauptkommentar. (Damit kommen wir aber auf das gleiche Ergebnis)
Genau, so können wir es berechnen.
s(3) haben wir ja schon in Teil a) berechnet. s(0) fehlt uns aber noch. Welche Strecke hat der Springer denn nach 0 Sekunden zurückgelegt?
Und wie hoch ist dann die durchschnittliche Geschwindigkeit?
Sorry für die lange Wartezeit...
Ja genau, nach 0 Sekunden ist der Springer natürlich 0 Meter gefallen.
Welches Ergebnis erhältst du dann für die durchschnittliche Geschwindigkeit?
Es sind mittlerweile 2 Jahre vergangen, aber wir haben gerade auch das selbe aufbekommen. Ich habe alles genau so gelöst, wie du es hier beschrieben hattest. Leider habe ich nicht verstanden wofür die 190m überhaupt angegeben werden?
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen:)
Ich habe gedacht 3 Sekunden in den Funktion einsetzen…