Erstellen einer Funktion 3 grades, Textaufgabe. Wie Rechnet man es richtig aus?
Um das klar zustellen ... das sind zwar Hausaufgaben ... die hab ich aber schon versucht zu rechnen ! Also nicht nochmal löschen -.-" Das ist eine einfache rat suche wie man diese Aufgaben richtig rechnen kann ... damit ich vergleiche wo bei mir der fehler liegt .
Die Aufgaben sind: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse bei x= 3 und verläuft durch P(4/3) und Q (1/4) bei mir kam f(x)= 8,667x^3 - 45,2684x^2+36,6014x +3 raus
und diese Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades hat bei x=2 eine Tangente mit der Steigung 38, bei x= -1/9 und bei x=0 verlaufen die Tangenten parallel zur x-Achse . Die y-Achse wird bei 1 geschnitten. Da kam bei mir f(x) =1 raus ... das kann ja wohl nicht richtig sein bei mir....
Ich hoffe mal diesmal bleibt meine frage drin .... und irgendjemand kann mir weiter helfen DANKE
5 Antworten
Ich könnte mir vorstellen, dass die 4 Gleichungen für die vier Unbekannten aufzustellen und zu behandeln das größte Problem für dich ist.
Ellejoikas Gleichungen sind richtig, und im Ansatz hattest du sie ja auch schon ermittelt. Wenn man diese "abarbeiten" möchte, muss man zuerst je zwei verschiedene Paare nehmen, die d enthalten, um dieses weg zu subtrahieren.
Dann hast du immer noch 3 Gleichungen (zwei aus den eben genannten Operationen und die eine aus der Ableitung gewonnene), um auf dieselbe Art c zu eliminieren.
Es bleiben noch 2 Gleichnungen mit a und b. Die sind dann leicht zu berechnen, wenn man auch eventuell Taschenrechnerhilfe wegen der Brüche benötigt.
Gut ist, dass alle bei den Brüchen geblieben sind, denn eine Umrechnung in Dezimalzahlen mit Rundung (2/3 = 0,67) ergibt nicht unerhebliche Abweichungen in den y, wenn man sie nachrechnet.
Die 4 Gleichungen für 4 Unbekannte sind nach Ellejolka:
(1) 27a + 9b + 3c + d = 0
(2) 27a + 6b + c = 0
(3) 64a + 16b + 4c + d = 3
(4) a + b + c + d = 4
Jetzt 3 Gleichungen für 3 Unbekannte:
(1) – (4) 26a + 8b + 2c = - 4 und daraus (5) 13a + 4b + c = - 2
(3) – (1) = (6) 37a + 7b + c = 3 und
(2) 27a + 6b + c = 0
2 Gleichungen für 2 Unbekannte:
(2) – (5) 14a + 2b = 2 und daraus (7) 7a + b = 1
(6) – (2) = (8) 10a + b = 3
Jetzt 1 Gleichung für 1 Unbekannte: (8) –(7) 3a = 2, also a = 2/3
a in (8) gibt b = - 11/3
a und b in (2) gibt c = 4
und schließlich a, b, c in (4) gibt d = 3
Die ganzrationale Funktion 3. Grades lässt sich auch mit (nur) zwei Variablen finden.
Eine Berührpunkt der x-Achse ist eine doppelte Nullstelle:
f(x) = a(x-3)²(x -b);
P ∈ f ⇒ 3 = a 1² ( 4 -b) = a(4-b); (1)
Q ∈ f ⇒ 4 = a(-2)² (1 -b) = a4(1-b) ; (2)
(1) und (2) nach a auflösen, gleichsetzen (für b≠ 4, b ≠ 1; w, da P, Q keine Nullstellen von f sind):
3/(4-b) = a = 1/(1-b) = 4/(4(1-b));
4 -b = 3 - 3b ⇒ b = -1/2; a = 2/3
y = 2/3 (x -3)² (x +1/2) = 2x³/3 - 11x²/3 +4x +3
...deutlich weniger Aufwand.
Ich wäre selbst nicht so ohne Weiteres auf die Aussage gekommen, dass ein Berührpunkt der x-Achse eine doppelte Nullstelle ist - wenn nicht auf gutefrage.net auffällig viele Probleme stünden, die mit damit einfacher zu lösen sind. Ensprechende Funktionen scheinen gerade "Mode" zu sein.
Natürlich bin ich den Beweis schuldig.
Voraussetzung:
- Eine ganzrationale Funktion f(x) habe die Darstellung
f(x) = (x -a)g(x) ⇔a ist Nullstelle von f(x),
- f'(a) = 0 (horizontale Tangente von f für x = a, z.B. Berührung der x-Achse)
Behauptung:
- g(a) = 0 ⇔
a ist auch Nullstelle von g ⇔
a ist mehrfache (mindestens doppelte) Nullstelle von f
Beweis:
f'(x) = ( (x-a)g(x) ) ' = [Produktregel:]
g(x) + (x-a)g'(x); ⇒
0 = f'(a) = g(a) + (a-a)g'(a) = g(a), q.e.d.
Zweite Aufgabe, "rechensparsam":
f' ist eine Parabel, und mit den gegebenen Stellen mit horizontalen Tangente von f ( = Nullstellen von f') bis auf den Leitkoeffizienten a vollständig bestimmt:
f'(x) = a (x + 1/9) x
f'(2) = 38 ⇒ 38 = a * 19/9 * 2 ⇒ a = 9 ⇒
f'('x) = 9(x +1/9)x = (9x +1)x = 9x² +x;
Mit unbestimmtem Integral:
f(x) = 3x³ + x²/2 +c , mit f(0) = 1
f(x) = 3x³ +x²/2 +1
- aufgabe; f(3)=0 also 27a+9b+3c+d=0
f '(3)=0 also27a+6b+c=0
f(4)=3 also 64a+16b+4c+d=3
f(1)=4 also a+b+c+d=4
jetzt mit Additionsverf. a,b,c,d berechnen; sag bescheid, ob du das auch so siehst.
Wohl wahr! Aber ob Steffiepi das nutzt/nützt?