Elektrostatik: Potential bei Hohlkörper?

Warum ist das Potential in z.B. einer Hohlkugel const. und nicht 0?

es gilt doch folgende Gleichung:

und da es Innerhalb dieser Hohlkugel kein Feld gibt (E=0) ergäbe das Integral doch 0

frage stellt sich aufgrund des folgenden Sachverhalts: https://youtu.be/f3A5Uk2oDCw?t=1083

Answer 1

[mihisu]

Im Inneren der Kugel ist E = 0 und damit wäre, das Integral gleich 0... Wenn denn der Referenzpunkt p₀ genauso wie der Punkt p (an dem man das Potenzial betrachtet) beide im Inneren der Kugel liegt.

Und genau da ist der Haken... Üblicherweise legt man in der Elektrostatik dass Nullpotential ins Unendliche. D.h. im Unendlichen außerhalb der Hohlkugel setzt man das Potential gleich 0. Der Referenzpunkt p₀ liegt hier also außerhalb der Kugel im Unendlichen. Und dementsprechend durchläuft man beim Weg von p₀ zu p das E-Feld außerhalb der Hohlkugel, welches nicht gleich 0 ist.

Die von dir genannte Integralformel für das Potential gilt so nämlich auch nur, wenn im Referenzpunkt p₀ das Potential gleich 0 ist, also wenn man ϕ(p₀) als Nullpotential gewählt hat. Genauer wäre eigentlich nämlich...

$\phi(p)=\phi(p_0)+\int\limits_{p}^{p_0}\vec{E}\cdot\text{d}\vec{r}$

Und da erkennt man dann besser, dass wenn p und p₀ beide Innerhalb der Kugel liegen, sich dann ϕ(p) = ϕ(p₀) ergibt, wenn das Integral wegen E = 0 wegfällt. Das bedeutet dann aber erst einmal nur, dass das Potential überall innerhalb der Hohlkugel konstant gleich ϕ(p₀) wäre, was nicht unbedingt gleich 0 sein muss.

Wenn man nun eine Hohlkugel mit Ladung Q und Radius R (und Mittelpunkt im Koordinatenursprung) betrachtet, so gilt für das elektrische Feld....

$\vec{E}(\vec{r})=\begin{cases}0 & \text{für }r < R \\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{r^2} & \text{für }r > R\end{cases}$

Und für das Potential erhält man dann (mit Nullpotential im Unendlichen)...

$\phi(\vec{r})=\begin{cases}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{Q}{R} & \text{für }r < R \\-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{Q}{r} & \text{für }r \geq R\end{cases}$

Das Potential ist aber nur eindeutig bis auf eine additive Konstante, je nachdem wie man das Nullpotential wählt. Man könnte theoretisch auch das Nullpotential ins Innere der Hohlkugel legen, statt ins Unendliche. Dann hätte man...

$\phi(\vec{r})=\begin{cases}0 & \text{für }r < R \\\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right) & \text{für }r \geq R\end{cases}$

Dann hätte man, wie du es wolltest, Potential 0 im Inneren der Hohlkugel. Aber, wie bereits geschrieben... Üblicherweise legt man das Nullpotential ins Unendliche. Und das wäre dann nicht der Fall, da dann das Potential im Unendlichen 1/(4πε₀) ⋅ Q/R statt 0 wäre.