Einfache Extremalprobleme?
Schwierigkeiten mit Aufgabe 18. Wie könnte es gelöst werden?
3 Antworten
Nötige Innenwände x + 2y
Nötige Aussenwände 2x + 2y
Kosten K(x,y) = (x + 2y ) * 200 + (2x + 2y) * 900 = 160000
Fläche F(x,y) = x*y
wegen
(x + 2y ) * 200 + (2x + 2y) * 900 = 160000
200x + 400y + 1800x + 1800y = 160000
2000x + 2200y = 160000
2200y = 160000 - 2000x
gilt
y = 800/11 - 10/11x
Dieses y in F() einsetzen
F(x) = x * (800/11 - 10/11x)
Die Funktion F(x) hat ein Maximum bei x=40 und F(40) beträgt 16000/11. Das entspricht der Fläche. y ergibt sich dann aus F(40)/40.
1) A=x*y → Hauptgleichung (Hauptbedingung)
2) Ua=2*x+2*y → y=(Ua-2*x)/2 → y=Ua/2-1*x
3) Ka=Ua*900 €/m
4) Ki=li*200 €/m=(x+2*y)*200
5) 160.000 €=Ka+Ki
Ka=Kosten Außenwand
Ki=Kosten Innenwand
Ua=Umfang Außenwand
li=Länge Innenwände
2) in 1)
A=x*(Ua/2-1*x)
3) und 4) in 5)
160.000=Ua*900+(x+2*y)*200 mit 2)
160.000=Ua*90+[x+2*(Ua/2-1*x)]*200
umgestellt nach Ua=... dann in
A(x)=x*(Ua/2-1*x)=....
dann eine Kurvendiskussion durchführen → ableiten
A´(x)=0=... Nullstellen ermitteln
prüfen,ob Maximum oder Minimum
A´´(x)=...
Den Rest schaffst du selber.Mach auch Proberechnungen
Ich nehme an, die dünnen schwarzen Linien sind die Innenwände.
Dann ist der Preis (2x + 2y) * 900€ + (x + 2y) * 200€ = 160000€.
Die Fläche ist A = x * y -> max
Die Formel für den Preis stellt man z.B. nach y um und setzt das in die Formel für die Fläche ein. Dann hat man die Funktion A(x), deren Maximum man suchen muss.
Ich glaube, es ist besser, nach x umzustellen und das Maximum von A(y) zu suchen. Es kommt dasselbe raus, aber es kürzt sich einfacher, denn man hat x * 2000€ + y * 2200€, und 16000 ist durch 2000 teilbar.