Extremalprobleme?

Kann mir jemand bei diese Aufgabe helfen?

Answer 1

[TBDRM]

Pro Meter 900€ Außenwand und 200€ Innenwand, also können ca. $\frac{1m}{1100€}\cdot160.000€=145,45m\$ Wand verbaut werden.

Es gilt:

$A_{Rechteck}\left(a,b\right)=a\cdot b$ $U_{Rechteck}\left(a,b\right)=2\cdot\left(a+b\right)$

Jetzt formen wir um und definieren uns ein paar Sachen...

$a=\frac{U}{2}-b$ $\frac{U}{2}-b:=f\left(b\right)$

$A\left(f\left(b\right),b\right)=\frac{Ub}{2}-b^2$

Die Fläche hängt jetzt von b ab. Man kann es sich auch als Funktion von b vorstellen - wir sagen einfach A(b). Würden wir diese Funktion in ein Koordinatensytem packen, würden die y-Werte unsere Fläche sein (denn das spuckt diese Funktion ja gerade aus). Den größten Flächeninhalt finden wir also am Hochpunkt dieser Funktion, diesen wir mit der ersten Ableitung bestimmen könne - also tuen wir das jetzt:

$A\left(b\right)=\frac{Ub}{2}-b^2\ \ =>\ \ A´\left(b\right)=\frac{U}{2}-2b$

Wenn A´(b)=0 haben wir unseren Hochpunkt.

$A´\left(b\right)=0\ \ =>\ \ b=\frac{U}{4}=36,36$

Da wir b ermittelt haben, können wir jetzt auch den maximalen Flächeninhalt (b einfach in Stammfunktion einsetzen) und a ausrechnen:

$A_{\max}=A\left(36,36\right)=3967$ $a=\frac{U}{2}-18,18=109,1$

Also haben wir die maximale Fläche mit ca. 109,1 m * 36,36 m = 3967 m² berechnet. Hoffe, ich konnte helfen :D $A\left(b\right)=\frac{Ub}{2}-b^2\ =>$

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Answer 2

[gauss58]

Extremalbedingung:

A = x * y → Max.

Nebenbedingung:

160000 = 2 * (x + y) * 900 + (x + 2 * y) * 200

Nebenbedingung nach x oder y umstellen und in Extremalbedingung einsetzen, ableiten und Maximum bestimmen.