Einfache Erklärung für den Einschnürungssatz?
Hallo in meinem Mathbuch, das ich für autodidaktische Zwecke nutze, ist der Einschnürungssatz nur sehr dürftig erklärt. Im Internet finde ich dazu entweder Erklärungen, die mir viel zu hochstehend sind oder einfach gar nichts. Kann mir jemand einen Tipp geben, wo ich dazu eine sehr einfache Erklärung finde? Danke im Voraus!
2 Antworten
wo ich dazu eine sehr einfache Erklärung finde?
Hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Einschnürungssatz
Der Einschnürungssatz, Einschließungssatz, Dreifolgensatz oder Sandwichsatz (u. a.: Schachtelungssatz, Quetschlemma resp. Satz von den zwei Polizisten, Sandwichlemma; englisch sandwich theorem) ist in der Analysis ein Satz über den Grenzwert einer Funktion. Gemäß dem Einschnürungssatz strebt eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebenden Funktionen „eingezwängt“ wird, auch gegen diesen Wert.
Der Einschnürungssatz wird typischerweise dazu verwendet, einen Grenzwert einer Funktion nachzuweisen, indem man die Funktion mit zwei anderen vergleicht, deren Grenzwerte bekannt oder einfach zu bestimmen sind. ...
Der Satz gilt insbesondere auch für Grenzwerte von Folgen: eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebenden Folgen beschränkt wird, konvergiert ebenfalls gegen diesen Wert.
Einschnürungssatz (für reelle Folgen): Gilt (a_n) → a, (b_n) → a und gibt es ein m, so dass für alle n>m gilt: a_n <= c_n <= b_n, so folgt (c_n) → a.
Beweis: Sei eps > 0. Dann gibt es ein k€|N, so dass für alle n>k gilt:
|a_n - a| < eps.
Ebenso gibt es ein l€|N, so dass für alle n>l gilt:
|b_n - a| < eps.
Sei m* das Maximum von {k,l,m}. Für alle n>m* gelten dann beide Ungleichungen. Dann liegen also a_n und b_n beide in der eps-Umgebung von a. Da aber c_n zwischen a_n und b_n liegt, liegt dann auch c_n in der eps-Umgebung von a.
Also gibt es zu jedem eps > 0 ein m*, so dass für alle n>m* das Glied c_n in der eps-Umgebung von a liegt. Das heißt, dass (c_n) gegen a konvergiert.
(Es dürfte Dir nicht schwerfallen, daraus einen Beweis allegeminer für Funktionen zu machen.)
Ich sehe gerade an Deinem Profil, dass Du offenbar gar nicht Mathematik studierst?! Dann mag Dir der obige Sprachgebrauch abgehoben vorkommen, obwohl er für Mathematik-Studenten einfach Standard ist. Du kannst Dir aber vielleicht den Einschnürungssatz vielleicht mit einer Skizze anschaulich klarmachen:
Zeichne Dir irgendwo auf der Zahlengeraden den Grenzwert a der beiden Folgen (a_n), (b_n) ein. Betrachte irgendein ein Intervall um a, bei dem a nicht gerade der linke oder rechte Endpunkt ist. Egal wie klein Du so ein Intervall wählst - von einem bestimmten Index an liegen dann alle a_n und alle b_n in dem Intervall: Das besagt die Konvergenz der beiden Folgen gegen a.
Nun liegen aber die c_n von einem bestimmten Index an zwischen a_n und b_n. Liegen also diese beiden schon in dem kleinen Intervall, so auch alle Zwischenwerte davon, und dabei ist ja der uns allein interessierende Wert c_n. (Daher die Bezeichnung "Einschnürung"!)
Quintessenz ist: Du kannst das Intervall um a noch so klein machen - aufgrund dieses Einschnürens liegen dann von einem bestimmten Index an alle c_n in jenem Intervall drin. Damit nähern sich also die Werte c_n so dicht an a, wie Du es nur immer haben willst: beliebig nahe. (Mach' einfach das Intervall immer kleiner - dann siehst Du es kommen.) Zwischen a und die Gesamtheit der Folgenwerte c_n passt daher kein noch so dünner Strich dazwischen... Das ist die Konvergenz von (c_n) gegen a!
Wie cool von dir, zu überprüfen, ob ich deine Ausführungen auch wirklich verstanden haben könnte! Nein, studiere nicht Math (obwohl das bestimmt sehr spannend wäre), sondern versuche autodidaktisch in Math einigermassen auf Maturitätsniveau zu kommen, um im Herbst ein Studium in einem naturwissenschaftlichen Bereich anzufangen. Daher habe ich deine Erklärung tatsächlich nicht wirklich verstanden, mich aber nicht dafür gehalten, nachzufragen, weil du dir schon so ne grosse Mühe gegeben hast, das derart ausführlich auszuformulieren und ich dich mit meiner Nachfrage zusätzlich behelligt hätte. Danke aber tausendmal für die erneute Erklärung. Ich habe inzwischen auch nochmals eingehender recherchiert. Deine Erklärungen helfen mir aber zusätzlich! Danke!!
Vielen Dank!