Eine Funktion ist unendlich oft differenzierbar?
Hallo,
kann mir bitte jemand erklären, was es bedeutet, dass eine Funktion unendlich oft differenzierbar ist?
Auf dem bild steht, z.B. jede Komponente von f unendlich oft differenzierbar ist.
z kann man doch nach z nicht unendlich oft differenzieren?
Nach zwei differenzieren haben wir doch schon nurnoch 0?
2 Antworten
Nach zwei differenzieren haben wir doch schon nurnoch 0?
Ja, und?
Warum bemängelst du nicht, dass du nach dem ersten mal Differenzieren "nur noch" 1 hast?
f(x) = 0 lässt sich genau so ableiten, wie f(x) = 1.
Genau :) dass eine Funktion unendlich oft differenzierbar ist, heißt nichts anderes, als dass du die Funktion ableiten kannst, diese Ableitung davon dann wieder ableiten kannst und das und so weiter. Wenn irgendeine dieser Ableitung (egal, welche, das kann auch die 46. Ableitung sein) eine konstante Zahl ist, dann ist die Funktion unendlich oft ableitbar, denn in diesem Fall wäre die 47. Ableitung 0, die 48. Ableitung dann auch 0 und generell alle folgenden Ableitungen gleich 0. Die Funktionen, die du aus der Schule kennst, sind eigentlich alle unendlich oft differenzierbar, aber man kann sich Funktionen ausdenken, die das nicht sind (da ist dann nach irgendeiner Ableitung Schluss oder es existiert überhaupt keine Ableitung). Ein einfaches Beispiel dafür wäre die Signumsfunktion, die einfach jeder Zahl ihr Vorzeichen zuordnet (also -1, wenn die Zahl negativ ist, 1, wenn sie positiv ist und 0, wenn sie gleich 0 ist). Diese Funktion springt im Nullpunkt schlagartig von -1 auf 0 und von da auf 1 und daher gibt es dort keinen Anstieg, also keine Ableitung.
Eine Funktion heißt unendlich oft differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und auch ihre Ableitung unendlich oft differenzierbar ist.
Anders gesagt:
Eine Funktion f heißt unendlich oft differenzierbar, wenn für jede positive ganze Zahl n die n-te Ableitung von f existiert.
Danke,
aber dann sind ja alle funktionen , deren vorletzte ableitung eine Zahl ist unendlich oft differenzierbar?