ein rechteck vom Unfang 2 soll um die kürzere Seite gedreht werden?

ein rechteck vom Unfang 2 soll um die kürzere Seite gedreht werden. Wie müssen die Seitenlängen des Rechtecks gewählt werden, damit das Volumen des entstehenden Drehzylinders möglichst groß wird?

kann mir erklären wie ich das berechnen könnte, wäre sehr nett :)

Answer 1

[mihisu]

Seien a und b die Seitenlängen des Rechtecks, wobei b die kürzere Seitenlänge sei.

Der Umfang (nicht „Unfang“) des Rechtecks soll 2 sein. Man erhält also 2a + 2b = 2 als Nebenbedingung, was man nach einer der beiden Variablen [a oder b] auflösen kann...

$2a+2b=2\quad\Leftrightarrow\quad a+b=1 \quad\Leftrightarrow\quad b=1-a$

[Offensichtlich muss 0 < a < 1 sein, damit a und b positiv sind. Negative Seitenlängen ergeben keinen Sinn.]
[Da b die kürzere Seitenlänge sein soll, könnte man das sogar noch weiter auf 1/2 < a < 1 einschränken.]

Der Zylinder der bei Drehung um die kürzere Seite entsteht, hat den Radius r = a und die Höhe h = b. Für das Volumen erhält man...

$V=\pi\cdot r^2\cdot h=\pi\cdot a^2\cdot b$

Mit b = 1 - a aus der Nebenbedingung erhält man...

$V=\pi\cdot a^2\cdot (1-a)$

Das Volumen soll nun maximal werden. Man kann kann das Volumen V als Funktion bzgl. der Variablen a betrachten und das Maximum dieser Funktion bestimmen, indem man die erste Ableitung betrachtet und die Nullstellen der ersten Ableitung untersucht.

$V(a)=\pi\cdot a^2\cdot (1-a)=\pi\cdot a^2 - \pi\cdot a^3$

$V'(a)=\pi\cdot 2a-\pi\cdot 3a^2=3\pi \cdot a\cdot (\frac{2}{3}-a)$

Die einzige Nullstelle von V'(a) [im relevanten Bereich 0 < a < 1] ist bei a = 2/3. Dort wechselt V'(a) von positiven zu negativen Werten, weshalb V(a) an dieser Stelle maximal wird.

Das Volumen wird also für a = 2/3 maximal. Die andere Seitenlänge ist in diesem Fall dann b = 1 - a = 1 - 2/3 = 1/3.

Ergebnis: Die gesuchten Seitenlängen sind 2/3 und 1/3.

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

wenn x die lange und y die kurze Seite ist, ist x der Radius des Drehzylinders, während y dessen Höhe ist.

Volumen daher V=pi*x²*y.

Die Nebenbedingung ist der Umfang 2: 2x+2y=2 und nach Kürzen durch 2:
x+y=1, also y=1-x.

1-x für y in die Formel für da Volumen einsetzen, so daß die nur noch von x abhängig ist, die Ableitung bilden, gleich Null setzen und nach x auflösen.

Hast Du x, ist y=1-x.

Zur Kontrolle: x=2/3, y=1/3.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Ellejolka]

V = pi • x² • (1-x)

Klammer lösen und

V ' = 0 setzen und x berechnen.