E. Coli Bakterie + Erdöberfläche
Ich sitze seit ner Stunde an meiner Mathehausaufgabe dran und komme einfach nicht weiter, hoffe ihr könnt mir helfen !
E. Coli Bakterien teilen sich unter günstigen Bedingungen alle 20 Minuten. Die Erde hat eine Oberfläche von etwa 510x10( hoch 6) Quadratkilometer. ( weiß ja nicht wie die beiden zusammenhängen sollen ._.) Berechnen sie die Dicke der E.Coli Schicht auf der Erde nach 36 Stunden ungehinderten Wachstums ( E. Coli ist kugelförmig und hat einen Durchmesser von 3 μm)
7 Antworten
Ein Bakterium hat d = 3 • 10^(- 6)m Durchmesser, braucht also in dichter
Packung das Volumen von ca. V₀ = d³ = 27 • 10^(-18) m³ =2,7 • 10^(-17) m³.
Wenn sich die Zahl der Bakterien in 1 Stunde 3mal verdoppelt, so verdoppelt
sie sich in 36 Std. 108 mal, und ihre Zahl ist dann N = 2^108 ≅ 3,245 • 10^32.
Ihr Volumen ist dann V = N • V₀ ≅ 8,76 • 10^15 m³ (ca. 10 Billiarden m³). Die
Erdoberfläche ist ca. A = 510 • 10^6 km² = 510 • 10^12 m² = 5,1 • 10^14 m².
Es gilt V = A • h, daher h = V/A ≅ 17,2 m.
Das wird jetzt ein wenig umfangreich, doch ich hoffe, dass ich es trotzdem schaffe es so knapp wie möglich zu formulieren. Du beginnst mit der Wachstumsfunktion, die hier y=2^x beträgt. Nach x=2, was genau 40 min entspricht, gibt es erst 4 Bakterien, doch nach 36 Stunden, also x=108 (weil 36h/20min=108) sind bereits ca. 300 Quintillionen oder 3•10^32. Diese Zahl wird mit dem Volumen eines Bakteriums multipliziert, was für dich kein Problem sein sollte --> 0,0000015m^3•pi Das macht ein Gesamtvolumen von ca. 3 Billionen Kubikmetern. Nun brauchen wir die Dicke der Schicht. Auf der Skizze (siehe Bild) habe ich den Gedankengang aufgezeichnet. Du kennst den Unterschied der Volumina der Kugeln, da es dem Bakterienvolumen entspricht. Wir stellen die Gleichung auf, die auf dem Bild aufgezeichnet ist. Nach dem Auflösen nach r GES kommst du auf den neuen Radius 6371007m. Du ziehst davon nun den Erdradius 6371000m ab, é voila: Die Dicke der Schicht beträgt 7m.
Als erstes musst du das Volumen von E. Coli ausrechnen --> Kugelvolumenformel.
Dann rechnest du aus, wieviele Bakterien nach 36 Stunden vorhanden sind. Die Bakterien teilen sich alle 20 min und 36 Stunden lang.
Dann ermittelst du das Gesamtvolumen der Bakterien.
Anschließend rechnest du die Dicke der Schicht aus, das sich durch dieses Volumen und der Oberfläche der Erde ergibt.
Gehe erstmal auf diese Weise vor und wenn du dann immer noch etwas unklar ist, kannst du meinen Beitrag kommentieren.
Du teilst die Fläche der Erde durch die kreisförmige Fläche der Bakterien, damit du so zu sagen die Anzahl der Bakterien bei t=0s kennst. Jetzt beträgt die Dicke der Schicht ja aufgrund der Kugelform 3 Mikrometer. D.h., dass die Dicke der Schickt folgendermaßen beschrieben werden kann;
D(t)= (3*(10^(-6))/ E(0) )*(2)^(t( in min)/20min)
E(0)= A(Erde)/(2pii*1,5*10^(-6))
Die Aufgabe ist wirklich fachlich inkorrekt gestellt. E. coli ist nicht kugelförmig sondern stäbchenförmig. (http://de.wikipedia.org/wiki/Escherichia_coli)
Aber nehmen wir die Kugelform an, dann komme ich auf ca. 13,5 m.
Dann müsste man auch noch beachten, dass die dichteste Kugelpackung nicht absolut kompakt ist. Aber Schwamm drüber.
In welcher Packung die Bakterien anzuorden sind, ist der Frage nicht zu entnehmen. Da gibt es ja unterschiedliche.
hexagonal-dichteste Kugelpackung
kubisch-dichteste Kugelpackung
kubisch innenzentrierte Gitter
Meine Berechnung geht vom letztern aus.
ah sry mir ist da glaube ich ein Fehler unterlaufen ^^:
D(t)= (2^(t/20min))* 3*10^(-6)