Differentialquotient ausrechnen?
f(x)=x^-2x
Die Formel für den Differentialquotienten lautet : F(x0)=lim (F(x)-f(x0))/(x-x0)
Wenn ich einsetzte entsteht: f(x0)=lim ((x^2-2x)-(x0^2-2x0))/(x-x0)
doch wie verfahre ich weiter? Ich weiß, dass als Ergebnis der Ableitung f´(x)= 2x-1 herauskommen muss.
4 Antworten
Sei gegeben:
f(x) = x^2 - x , stetig auf ganz IR.
Wir suchen nun die Ableitung über den Differentialquotienten:
(f(x + h) - f(x))/h = ((x + h)² - (x+h) - x² + x)/h = (2xh + h² - h)/h
= 2x - 1 + h ----> 2x - 1 für h ---> 0
---> f´(x) = 2x - 1
Alternativ hätte man auch folgendes machen können:
f(x+h) = (x+h)² - (x+h) = x² + 2xh + h² - x - h
= x² - x + (2xh + h² - h)
= f(x) + (2x - 1)*h + h²
Nach dem Prinzip der linearen Approximierung folgt:
f´(x) = 2x - 1 mit Korrekturglied: R(h) = h² mit R(h)/h --> 0 für h->0
es ist f(x)=x^2-2x
ich würde hier eher mit der h methode vorgehen (ist gleichwertig mit der x0 methode).
es ist
f(x+h)-f(x)=
((x+h)^2-2(x+h))-(x^2-2x)
=x^2+2xh+h^2 -2x-2h -x^2 +2x
=2xh+h^2-2h
dann ist weiter
(f(x+h)-f(x))/((x+h)-x)
=(f(x+h)-f(x))/h
=(2xh+h^2-2h)/h
=2x-2+h
Damit ist dann
f'(x)
=lim h gegen 0 von (f(x+h)-f(x))/h
=2x-2
(das h wird einfach zu 0)
"Differentialquotient y´=dy/dx=f´(x)=f(x2)-f(x1)/(x2-x1)
mit x2-x1=h ergibt x2=h+x1 mit x1=xo ist die Stelle,wo die Steigung gesucht wird
also f´(xo)=(f(x0+h)-f(xo))/h
f´(xo)=(xo^2+2*h*xo+h^2-xo-h-xo^2+xo)/h=2*xo-1+h nun h gegen Null
f´(xo)=2*xo - 1 oder allgemein f´(x)=2*x-1
Der bessere Ansatz ist [ (x+d)^2-2(x+d)] - (x^2-2x) / d für d->0
Multipliziert man das aus, bleibt 2x-1 stehen.
Falsch geklammert [ (x+d)^2 - 2(x+d) - (x^2-2x) ] / d