Definitionsmenge/ Wertemenge einer Funktion bestimmen?
Hallo zusammen! Ich weiß, man soll hier nicht nach Lösungen für Hausaufgaben fragen, aber ich verstehe bei dieser Aufgabe einfach gar nichts mehr:
Bestimme die Definitionsmenge und Wertemenge der Funktion f.
a) f(x) = x^2 + 1
Wie geht man da jetzt vor?
Würde mich echt freuen, wenn mir jemand anhand dieser Aufgabe die Vorgehensweise erklären könnte!
(Es gibt noch 5 andere Teilaufgaben die ich dann selbst mache, aber da ich nicht weiß wie ich vorgehen soll, ist das ganze hoffnungslos..)
4 Antworten
Die Definitionsmenge ist jene Menge jener Zahlen, für die die Funktion definiert ist.
Das heißt: welche Zahlen darfst du für dein x einsetzen.
Bei deiner Funktion f(x) = x² + 1
darfst du für x augenscheinlich jeden Wert einsetzen. Also ist hier die Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen.
z.B. für Wurzel(x) ist die Funktion (im reellen) nur für x>=0 definiert. Hier wäre die Definitionsmenge alle Zahlen >= 0.
oder für f(x) = 1/x die Menge R ohne die Null.
Die Wertemenge ist die Menge jener Zahlen, die die Funktion annehmen kann.
In deinem Fall für x²+1:
x² kann jeden positiven Wert oder 0 annehmen, nicht aber negative Werte.
x²+1 kann demnach nur Werte von >= 1 annehmen.
Die Definitionsmenge enthält die Zahlen, die Du in die Funktionsgleichung einsetzen darfst, sodass diese definiert sind. Ausgeschlossen sind also nur sog. Definitionslücken der Funktion.
Hat f nun Definitionslücken? Nein, f ist für alle reellen Zahlen definiert. Die Definitionsmenge ist somit ganz IR.
Die Wertemenge ist etwas schwieriger. Sie enthält die Zahlen, die für f(x) herauskommen können - und das sind oft nicht alle reellen Zahlen.
Gut dabei ist es, sich vor Augen zu führen, wie der Graph der Funktion aussieht. Die Definitionsmenge enthält nämlich alle definierten x-Werte der Funktion, die Wertemenge alle y-Werte.
Ich habe Dir das Schaubild des Graphen unten mal angehängt. Der Graph ist eine um 1 nach oben verschobene Parabel. Und daran ist jetzt auch ganz einfach erkennbar, welche Funktionswerte herauskommen können - nämlich alle Werte ≥ 1, nach oben gibt es keine Grenze.
Somit ist die Wertemenge in Intervallschreibweise folgende:
\W = [1; ∞)
Das wären einfach gesagt einfach die y-Werte der Funktion, wenn man so will. Also eigentlich wirklich kein Hexenwerk. :-)
LG Willibergi
Genau. Man könnte auch [1; ∞[ schreiben, das ist vielleicht etwas klarer.
Unendlich ist keine Zahl, gehört also nicht dazu. ∞) drückt nur aus, dass in der Menge alle Zahlen enthalten sind - und das stellt man eben dar, indem man die (exklusive!) Grenze bei Unendlich setzt.
Die Funktionen x² + 1 und x² - 1 unterscheiden sich erheblich.
Die erste hat keine Nullstellen, die zweite gleich zwei davon, obwohl der Definitionsbereich bei beiden gleich ist,
der Wertebereich aber eben nicht. Alle Werte der zweiten sind um 2 kleiner als die der ersten.
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Die Hausaufgabeneinschränkung bei GF ist längst aufgehoben, obwohl einige da immer noch drauf herumreiten. Was nicht beliebt ist, das sind Hausaufgaben, die in größerer Menge den Antwortenden einfach an den Kopf geworfen werden. Aber bei einzelnen Problemen geben wir immer Hilfe zur Selbsthilfe, - auch bei Hausaufgaben.
wenn du keine Wurzel und kein x im Nenner hast, dann ID = IR
also Definitionsbereich = alle rellen Zahlen.
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beim Wertebereich guckst du dir den Graphen an und insbesondere die y-Werte der Kurve; hier ist die Parabel nach oben geöffnet und um 1 nach oben verschoben; also W = alle rellen Zahlen größer gleich 1
Vielen vielen Dank! :)
Was wäre jetzt, wenn die Funktion f(x) = x^2 - 1 wäre?
wenn du keine Wurzel und kein x im Nenner hast, dann ID = IR
das ist ein wenig sehr kurz gegriffen!
Es gibt natürlich unzählige andere Funktionen, die den Definitionsbereich einschränken.
Nur ein paar wenige Beispiele:
log, arccos, tan, .....
Vielen vielen Dank! :)
Was genau ist nochmal das mit der Intervallschreibweise?
[ heißt ja dass die Zahl dazu gehört und ( dass sie nicht dazugehört oder?
Wieso ist das dann mit unendlich) ? Weil das unendlich gehört ja dazu, oder nicht?