Beweis orthogonale Matrix?
Eine (n x n)-Matrix ist orthogonal, genau dann, wenn ihre Spalten ein Orthonormalsystem in Rn bilden.
Wie kann man diese Äquivalenz beweisen?
2 Antworten
s_i sein die Spalten von A, also
A = (s_1, s_2, ..., s_n).
1. Wir zeigen nun, dass wenn A orthogonal ist, die Spaltenvektoren ein Orthonormalsystem {(s_1), (s_2), ..., (s_n)} bilden.
Nach Annahme ist A orthogonal, also gilt
A^T = A^(–1) bzw. A^T A = E
(E bezeichne die n×n-Einheitsmatrix).
Damit folgt, dass für die Komponenten an der Stelle (i, j) gilt,
(s_i)^T (s_j) = (s_i) • (s_j) = δ_(ij)
mit dem Kronecker-Delta δ_(ij) (=0, wenn i≠j; =1, wenn i=j), "•" bezeichne das Standardskalarprodukt.
Wenn also i≠j ist, man also einen Spaltenvektor mit einem anderen von A über das Skalarprodukt verknüpft, immer Null rauskommen muss.
Die Spaltenvektoren von A sind also alle orthogonal zueinander. {(s_1), (s_2), ..., (s_n)} ist also sicher eine Orthogonalbasis.
Nun muss aber, wenn i=j, also der Spaltenvektor mit sich selbst über das Skalarprodukt verknüpft wird, immer Eins rauskommen.
Die Spaltenvektoren sind also normiert (Länge der Vektoren ist eins). Damit sind die Spaltenvektoren alle orthonormal zueinander. {(s_1), (s_2), ..., (s_n)} ist also eine Orthormalbasis bzw. -system.
2. Nun zeigen wir, dass wenn die Spaltenvektoren eine Orthonormalbasis bilden, die Matrix A orthogonal ist.
Nach Annahme ist {(s_1), (s_2), ..., (s_n)} eine Orthonormalbasis und
A = (s_1, s_2, ..., s_n).
Berechnen wir nun das Matrizenprodukt
A^T A = B
erhalten wir für die die Komponente an der Stelle (i, j) von B
(s_i)^T (s_j) = (s_i) • (s_j) = δ_(ij).
Denn wenn i=j, muss nach Annahme Eins, und wenn i≠j, muss nach Annahme Null rauskommen.
(δ_(ij)) ist für i, j = 1, ..., n gleich der n×n-Einheitsmatrix. Da A vollen Rang hat (die Spaltenvektoren bilden eine Basis), gibt es zu ihr eine Inverse A^(–1) mit der dann gilt
A^T A = E <=> A^T = A^(–1).
Die Matrix A ist also orthogonal.
Insgesamt haben also die Äquivalenz gezeigt. ■
Eine Matrix A ist orthogonal wenn A^T*A = I
Ja, aber warum folgt dann daraus, dass die Spalten ein Orthonormalsystem sind?