Beweis: Harmonisches Mittel (!) kleiner geometrisches Mittel

Hallo,

ich beiße mir seit Stunden die Zähne aus, warum das harmonische Mittel kleiner als das geometrische sein muss für alle xk größer 0. (es geht NICHT um den Standardbeweis geometrisch M kleiner arithmetisch M!)

Für alle, die die Formeln nicht parat haben:

harmonisches Mittel: http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonisches_Mittel

geometrisches Mittel: wiki link mit .../Geometrisches_Mittel

Vielen Dank, Martin

Answer 1

[arrgh]

Eigentlich recht leicht, hab aber auch ein Weilchen drüber nachgegrüblet. Man führt das Problem einfach zurück auf das Problem geom M<arithM, das scheint ja bekannt zu sein und darf daher verwendet werden.
Also wenn man die Definition vom harm Mittel der xi umformt (Kehrwert) erhält man:

Hx=n/(Σ(1/xi))--> 1/Hx=Σ(1/xi)/n

Dabei soll Hx als harmonisches Mittel der x stehen. Nun substituiert man einfach: yi=1/xi. Damit gilt:

1/Hx= Σ(yi)/n=Ay

wobei Ay für das arithmetische Mittel der y i steht. Lassen wir das Mal so und wenden uns dem geometrischen Mittel G zu:

Gx=(Πxi)^(1/n)=(Π(1/yi))^(1/n)=1/(Π(yi))^(1/n)=1/Gy

Nun gilt, dass Gy≤Ay ist, das habt ihr ja schon bewiesen. Also gilt:

1/Gx ≤ 1/Hx

Wenn man davon den Kehrwert bildet, muss man das Ungleichzeichen umdrehen, also ergibt sich:

Gx ≥ Hx
q.e.d.

Comments

[MartinJ]

Woa, imaginäre Zahlen. Wie gehst du denn ab, hey? :D

[arrgh]

@MartinJ

Wo sind da imaginäre Zahlen??? Das i ist bloß der Index für die x oder für die y, also xi=x1,x2,x3,...

[MartinJ]

@arrgh

Habs nur überfolgen gehabt, nach 8 Stunden Analysis sieht man die Dinge einfach verkehrt. :D

[lks72]

Schick

Answer 2

[emaxba123]

http://www.onlinemathe.de/forum/ArithmetischesGeometrischesHarmonisches-Mittel

Comments

[MartinJ]

wird auch lediglich für zwei Zahlen bewiesen. Suche einen allgemeinen Beweis für x1 bis xn Werte...

[Suboptimierer]

Hinter dem Link liegt eine leicht abweichende Aufgabenstellung. Zum einen wird "kleiner gleich" gefordert, zum anderen wird beim Beweis mit n=2 angefangen.

Ich habe aber nirgendwo lesen können, dass n=1 nicht erlaubt ist.

Answer 3

[Rowal]

Also ich würde das so beweisen: Sei 0 < a <b. Dann ist deine Behauptung äquivalent zu

2ab/(a+b) < wurzel(ab)
<==> 4a²b² < ab(a+b)²
<==> 4ab < (a+b)²
<==> 4ab < a²+b²+2ab
<==> 2ab < a²+b²
<==> 0 < a²+b²-2ab
<==> 0 < (a-b)²
Letzteres ist aber richtig, da a ungleich b vorausgesetzt war.

Comments

[MartinJ]

Das ist jetzt bis morgen früh um 8 auch mein Beweis, allerdings fürchte ich, dass ein Beweis für alle x1, x2, x3 ... xn verlangt wird..

[Rowal]

@MartinJ

In der Tat ein interessantes Problem: Zum Beweis kann man sich folgende Eigenschaft konvexer Funktionen zu nutze machen: Ist f(x) eine konvexe Funktion auf einem Intervall [x1,xn] (mit 0<x1<xn), so liegen die Funktionswerte unterhalb den Werten der Sehnen, wenn man eine Partition x1<x2< ... <xn wählt; in Formel

f(q1 * x1 + q2 * x2 + ... + qn * xn) <= q1 * f(x1) + ... qn * f(xn)

wobei alle qi > 0 und deren Summe gleich 1 ist.

Wählt man nun f(x)=x * log(x) wobei log der natürliche Logarithmus ist, so ist f(x) für x>0 konvex, da f''=1/x > 0. (f ist also sogar strikt konvex).

Wählt man nun qi = (1/xi) / Summe(1/xk) wobei natürlich k von 1 bis n läuft, so erhält man

n * log(n/Summe(...)) <= Summe(log(xi))
oder nach den Logarithmenrechenregeln
.....<= log(x1 * x2 * ... * xn)

Damit folgt: log(n/Summe(...)) <= log((x1 * x2 * ... * xn)^(1/n))
Letzteres wieder nach den Logarithmenrechenregeln. Damit folgt wg. der Monotonie des log() die Behauptung.

Es geht wahrscheinlich auch einfacher, aber auf jeden Fall ist es ein interessantes und anspruchsvolles Problem.

Answer 4

[Suboptimierer]

Hmm, also für n=1 habe ich einen Widerspruch. Dann steht da

1/(1/x.1) = x.1 < x.1 = 1.Wurzel(x.1) (falsch)

Ich wollte mal probieren, das per vollständiger Induktion zu lösen, aber der Beweis scheitert bereits an der Induktionsvoraussetzung.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik

Comments

[MartinJ]

Ja, unter der Bedingt x1 = x2 =x3 =x4 = ... = xn gilt eine Gleichheit. D.h. wenn du nur ein x hast, ist automatisch jedes x gleich und es herrscht gleichheit.

allerdings ist wichtig, dass für beliebig viele x werte mit beliebigen Werten das harmonische Mittel immer kleiner gleich dem geometrischen ist.

Entschuldige, ich glaube die Frage war unklar formuliert. ;) H kleiner gleich G

[Suboptimierer]

@MartinJ

allerdings ist wichtig, dass für beliebig viele x werte mit beliebigen Werten das harmonische Mittel immer kleiner gleich dem geometrischen ist.

In der Aufgabe steht aber "Harmonisches Mittel (!) kleiner geometrisches Mittel".

Entschuldige, ich glaube die Frage war unklar formuliert.

Eigentlich war sie klar formuliert. Du hast dich in deinem Kommentar nur zur Aufgabe widersprochen. Wenn du kleiner-gleich meinst, dann solltest du in der Aufgabe auch "kleiner-gleich" schreiben!